Математика — 7 класс — Вынесение общего множителя

Задания для устного счета

Доброе время суток, ребята! Попытаюсь сегодня поработать с вами с помощью следующего видеофайла. Сейчас перед вами представлены задания для устного счета. Я попрошу вас нажать на паузу в данном видеоролике и попробовать эти задания выполнить самостоятельно.

После того как вы их выполнили, нажмите кнопочку play, и мы проверим решение. Я, соответственно, не останавливаясь, сразу начну решать эти задания.

Умножение десятичных дробей и смешанных чисел

При умножении десятичных дробей в первую очередь мы определяем знак результата. Знак результата в первом задании будет отрицательный, так как нечётное количество отрицательных знаков. При умножении десятичных дробей первое мы умножаем, не обращая внимания на запятую, то есть 23 на 27. По хитрому правилу умножения мы с вами знаем результат — это 621. В ответе отделяем столько знаков после запятой, сколько их стоит в обоих множителях. То есть результат — минус 6,21.

Второй пример — умножение смешанного числа на натуральное. По правилам быстрого умножения мы отдельно умножаем целую, отдельно дробную, так как любое смешанное число представляет собой сумму целой и дробной части. Используя распределительный закон умножения, мы отдельно умножаем целую, то есть 2 на 14, отдельно умножаем дробную, то есть 1/7 на 14, и полученное произведение складываем. Результат — 30.

Аналогичная работа, то есть с использованием распределительного свойства умножения, видна и в третьем задании. По-хитрому мы с вами называли эти задания «тупым паровозом». Единственное, что здесь нужно увидеть, что числа 0,8 и 4/5 — это одно и то же число. Показывая одинаковые множители, которые можно вынести за скобку, можно сообразить, что в скобках останется от первого произведения минус 2/3, от второго произведения плюс 1,2. Сумма в скобках равна единице, при умножении на 1 мы получим значение 2,8.

Решение уравнений

Следующее задание — решить уравнение. Уравнение под буквой А. Пользуясь правилом решения уравнения, любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Мы тут же получаем ответ $x$, равный 3.

Второе уравнение решается аналогично. Плюс 5 переходит в правую часть равенства с отрицательным знаком, получаем $x$ равно минус 5. Что мы видим в третьем уравнении? Выражение, которое записано в левой части равенства, называется произведением. И это произведение равно 0.

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0, другой при этом не теряет смысла. Это правило мы с вами записывали в 6 классе и подобные уравнения решали. Я напоминаю, что данное уравнение равносильно совокупности, то есть объединению двух различных уравнений. Либо первый множитель может равняться 0, а первый множитель — это $x - 3$. Либо второй, $x + 5$, может равняться 0.

В таком случае из первого уравнения мы получаем $x = 3$, и из второго уравнения $x = -5$. Как видим, отличие от предыдущих уравнений, второе уравнение имеет два решения. Ответ при записи будет соответствующим: под буквой А — 3, под буквой B — минус 5, под буквой C — минус 5 и 3. Корни записываются, как правило, в порядке возрастания через точку с запятой. На этом устный счет можно считать оконченным.

Вынесение общего множителя за скобки

Почему в устном счёте мы вспоминали с вами распределительное свойство умножения? Ну ровно потому, что работа по вынесению общего множителя за скобки тесно связана с этой темой. Вынесение общего множителя за скобки позволяет нам преобразовать сумму одночленов, которую мы называем многочленом, в произведение. И, как мы увидели из последнего уравнения, можно с легкостью решить уравнение, представляющее собой произведение двух множителей, если оно равно 0.

Для начала просто потренируемся и отработаем правила вынесения общего множителя за скобки. Первый пример: $2x + 6y$. Для тех, кто отсутствовал на последнем уроке, это правило напомню.

Первое: мы определяем наибольший общий делитель всех числовых коэффициентов, входящих в состав данного выражения. В выражение входят коэффициенты 2 у одночлена $2x$ и 6 у одночлена $6y$. Наибольший общий делитель этих чисел — это число 2. Напоминаю: наибольшим общим делителем натуральных чисел называется наибольшее натуральное число, на которое каждый из данных чисел делится без остатка. То есть это число не может быть больше самого маленького из двух чисел.

В шестом классе мы с вами учились определять НОД хитрым способом. И первое, что мы с вами проверяли — а не делится ли каждое из этих чисел на самое маленькое? И 6, и 2 делятся на 2. Значит, это и есть НОД. Итак, первый пункт в правиле — найти наибольший общий делитель всех коэффициентов.

Второе: необходимо найти переменную, которая входит в состав каждого одночлена. Если мы посмотрим, в первый одночлен входит переменная $x$, но она отсутствует во втором, значит, она не является общим множителем, который можно вынести за скобку. Дальше проверять нет смысла, потому что никаких переменных в первом выражении больше нет.

Значит, вторым пунктом мы определяем переменную и её степень. Степень, которую выносим за скобку, должна быть самой наименьшей из встречающихся выражений. В данном случае мы увидели, что такой переменной нет.

Что мы делаем дальше? Определив общий множитель 2, в скобочках мы записываем выражения, которые были в начале, и делим на тот общий множитель, который мы вынесли за скобку. То есть $2x$, деленное на 2, плюс $6y$, деленное на 2. Множитель 2 остается перед скобкой. $2x$, деленное на 2, после сокращения даст нам значение $x$. $6y$, деленное на 2, после сокращения даст нам значение $3y$. Выражение на множитель разложено.

Разложение суммы на произведение

Делим на тот общий множитель, который мы вынесли за скобку. То есть $2x$, деленное на 2, плюс $6y$, деленное на 2. Множитель 2 остается перед скобкой. $2x$, деленное на 2, после сокращения даст нам значение $x$. $6y$, деленное на 2, после сокращения даст нам значение $3y$. Выражение на множитель разложено.

Если в начале выражения перед нами была сумма двух произведений $2x$ и $6y$, то теперь мы имеем произведение числа 2 на сумму $x$ и $3y$. Данное выражение стало проще, справиться с ним будет легче.

Поиск наибольшего общего делителя

Второй пример: $140a + 21b$. Действуем по тому же самому правилу. Первое — находим наибольший общий делитель числовых коэффициентов. И 140, и 21 делятся на одно и то же число. Эти числа подобрать несложно. Для этого достаточно определить, на какие из чисел делится число 21: на 1, 3, 7 и 21. Больше делителей у этого числа нет.

Число 1 как общий делитель за скобку выносится в крайне редких случаях, когда других делителей у чисел нет. Проверим число 3. Число 140 на 3 без остатка не делится, так как сумма цифр 1, 4 и 0 равна 5, что не кратно 3. На 7 число 140 делится без остатка, мы получаем число 20. На число 21 число 140, к сожалению, не делится. Следовательно, наибольший общий делитель этих чисел — это число 7. Его я и выношу за скобку.

Второе — мы должны найти переменную, входящую в состав каждого из одночленов. В первом одночлене есть переменная $a$, но она отсутствует во втором. Значит, это не общий множитель. Общих множителей, кроме 7, у этих чисел и выражений нет.

В скобках записываем сумму частных: $140a$, делённое на общий множитель, который мы только что вынесли за скобку, и $21b$, делённое на общий множитель, который мы только что вынесли за скобку. Между данными выражениями мы ставим тот же самый знак, который был в исходном выражении, то есть знак «плюс». Если мы 140 разделим на 7, мы получим $20a$. Если мы $21b$ разделим на 7, получим $3b$. У чисел 20 и 3 общих делителей нет. Задание выполнено.

Быстрое решение примеров

Следующий пример: разложить на множители $7c - 35$. Теперь я буду работать побыстрее. Общим делителем этих чисел будет являться число 7. Если вы поняли алгоритм работы, вы можете поставить работу на паузу, выполнить задание до конца и в конечном итоге посмотреть только ответ. $7c$, делённое на 7, минус 35, делённое на 7. Ту запись, которую я записываю сейчас, очень скоро мы с вами будем пропускать и выполнять эти деления в уме. Запись будет выглядеть следующим образом: $7(c - 5)$. Задание выполнено.

Следующий пример: $56m - 72n$. Опять-таки советую поставить видео на паузу и выполнить решение самостоятельно. И 56, и 72 делятся без остатка на 2. Делятся без остатка на 4. Делятся без остатка на 8. Является ли это наибольшим общим делителем данных чисел? 72 представляет собой произведение 8 на 9. Достаточно проверить ещё и число 8, умноженное на 3. 8 и 3 — 24. Не является делителем 56. Значит, наибольший общий делитель этих чисел — 8.

В скобочках останется $7m - 9n$. Обратите внимание, в скобках появился знак «минус». Я надеюсь, вы его не потеряли и не перепутали со знаком «плюс».

Следующий пример: $25x^2 - 15y$. Начинаем опять-таки с определения числового коэффициента. Наибольший общий делитель 25 и 15 — это число 5. В скобках останется $5x^2 - 3y$. Общей переменной для первого и второго одночлена в данном выражении нет. Переменную за скобку вынести нельзя.

Последний пример: $8AB - 32C$. Наибольшим общим делителем чисел 8 и 32 является число 8. Переменные $A$ и $B$, присутствующие в первом выражении, отсутствуют во втором. Значит, переменную мы вынести не сможем. Ответ: $8(AB - 4C)$.

Вынесение переменной за скобку

А теперь хотела бы ещё рассмотреть пример, который был у вас в тестовом задании в Google Классе, с которым не справились некоторые ребята. Предположим, мне нужно разложить на множители выражение $a^2 - 8ab$. Что является наибольшим общим делителем числовых коэффициентов? Первый числовой коэффициент равен 1, а второй — 8. Значит, наибольший общий делитель этих чисел не может быть больше, чем 1. Соответственно, коэффициент 1 и является общим множителем, который можно вынести за скобку.

Проверяю переменные, входящие в состав каждого из выражений. В первом выражении есть переменная $a$, и она записана во второй степени. Во втором выражении есть $a$, но в первой степени. Напоминаю, мы выносим наименьшую степень переменной. Что меньше? Вторая или первая? Меньше первая. Соответственно, именно в первой степени это выражение мы и вынесем.

В скобках записываем частное: $a^2$ на $a$ и $8ab$ на $a$. Знак в скобках — минус. Понятно, что числовой коэффициент, равный 1, нет смысла писать как множитель, поэтому данное выражение будет записано как $a(a - 8b)$. Мы получили произведение, то есть преобразовали опять-таки сумму в произведение, чему и должны были научиться.

Следующий блок заданий позволит нам отработать вынесение переменной в данном многочлене. Пример первый. Разложить на множители выражение $a^2 + a$. Числовые коэффициенты во всех заданиях этого блока будут равны 1. Сейчас мы отрабатываем только возможность вынесения переменной. Переменная $a$ присутствует как в первом, так и во втором слагаемом. Остаётся определить степень. Степень, повторяю, должна быть наименьшая. Наименьшая степень этих выражений — первая. А в первой степени я и выношу за скобку.

Отработка вынесения переменной за скобки

Числовые коэффициенты во всех заданиях этого блока будут равны 1. Сейчас мы отрабатываем только возможность вынесения переменной. Переменная $a$ присутствует как в первом, так и во втором слагаемом. Остаётся определить степень. Степень, повторяю, должна быть наименьшая. Наименьшая степень этих выражений — первая. А в первой степени я и выношу за скобку.

В скобках останется $a$ в квадрате минус 1, делённое на $a$, плюс $a$, делённая на $a$. При делении в степени с одинаковым основанием показатели вычитаются. $a$ в квадрате разделить на $a$ — значит, $a$ в квадрате разделить на $a$ в первой степени, то есть $a$ в степени $2-1$. Получается $a$ в первой или просто $a$. Во втором случае можно решить задание по-разному. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. Мы получим $a$ в первой, делённое на $a$ в первой. То есть $a$ в степени $1-1$ — $a$ в нулевой. Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно единице. Можно было решить задание по-другому: если число разделить на само себя, то мы получим 1. И в том, и в другом случае ответ к данному заданию — $a/a + 1$.

Следующий пример: $c + c^3$. Наименьшая степень переменной — $c$ в первой степени. Ее я и выношу за скобки. В скобках останется $1 + c^2$.

Все остальные задания я решаю, записывая только ответы, проговаривая наименьшую степень переменной. В данном случае это $b$ в степени 2. В скобках останется $b$ в квадрате минус 1. Хотела бы несколько слов сказать о данном выражении. Мы до конца не разложили это выражение на множители, потому что здесь есть ещё один способ дальнейшего разложения выражения, о чём мы будем говорить несколько позже.

Следующее выражение: $m^7 - m^9$. Переменная $m$ входит в состав обоих выражений в наименьшей степени — $m$ в седьмой. Тогда в скобочках останется $1 - m^2$.

Следующее выражение: $ab^2 - a^2b$. Как видим, и переменная $a$, и переменная $b$ присутствуют в обоих выражениях. Наименьшая степень переменной $a$ — это первая. Значит, общим множителем, который можно вынести за скобку, является произведение $ab$. Тогда в скобочках от первого произведения останется $b$, от второго — $a$.

Работа со сложными выражениями и типичные ошибки

Следующее задание: $a^2b^3 - a^2b^2 + a^3b^2$. Переменная $a$ и переменная $b$ входят в состав каждого из выражений. Значит, абсолютно точно их можно вынести за скобку. Наименьшая степень переменной $a$: вторая, вторая и третья — самая маленькая, вторая. Наименьшая степень переменной $b$: третья, вторая, вторая. Самая маленькая — вторая. Значит, это выражение я могу вынести за скобку. В скобках останется результат деления каждого из выражений на общий множитель, который мы вынесли за скобку.

Сразу хочу сказать, что в таких заданиях допускается огромное количество ошибок. Очень часто я вижу ответ на это задание в следующем виде: $b + a$. Этот ответ неверный, он не мог быть записан. И проверкой прежде всего является количество слагаемых в исходном выражении. Если в исходном выражении у вас было три слагаемых, значит, в скобках их не может быть меньше.

Результат деления каждого слагаемого на $a^2b^2$ будет равен: первое делим, получаем $b$; второе — результат деления числа на саму себя даст нам 1; и третье — значение $a$. Такой ответ может быть записан в выражении. Всё, что можно сделать, — третью скобку записать в любом другом виде. Например, $a + b - 1$ либо $b + a - 1$, меняя местами слагаемые, не забывая про знаки, которые принадлежат каждому из них.

Применение метода вынесения множителя в уравнениях

Вопрос: зачем мы учимся раскладывать выражения на множители вынесением общего множителя за скобки? Во-первых, это первый, самый приоритетный способ в разложении выражений на множители. И он позволяет решать подчас сложнейшие выражения. Сейчас я на доске запишу один из примеров. Задание — решить уравнение: $2x(x - 2) + 5(x - 2)^2 = 0$.

Если вы посмотрите на данное уравнение, то можно сказать, что такие задания мы с вами никогда раньше не решали. Уравнение довольно сложное. Могу только сказать, что данное уравнение является квадратным. Каким образом мы можем его решить, применяя новую тему урока? Дело в том, что общим множителем может быть не только числовой коэффициент или переменная, но даже целое выражение.

Если вы внимательно посмотрите, то увидите, что есть одинаковый множитель — тот самый «тупой паровоз», который встречается в каждом из произведений. Это $(x - 2)$, который присутствует и в первом, и во втором выражении. Ровно это значение $(x - 2)$ мы и будем выносить за скобку. Тогда от первого выражения останется $2x$, от второго — плюс 5. И так как $(x - 2)$ было в квадрате, то есть там было произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен $(x - 2)$, то вынеси один из них, второй останется у пятерки.

Закрываем скобку. И на эти скобки обращаю особое внимание. Очень часто вы их теряете. Выражение $(x - 2)$ умножается на выражение, на сумму. Выражение, стоящее во второй скобке, можно преобразовать. Таким образом мы получим $2x(x - 2) + 5(x - 2) \cdot (x - 2)$. При раскрытии скобок опять помогает распределительное свойство умножения. Сначала мы 5 умножаем на $x$, затем 5 на минус 2. Видно, что выражение до конца не упрощено. Есть подобные слагаемые $2x$ и $5x$, которые в сумме дадут $7x - 10$. И мы пришли к уравнению, очень похожему на то, которое мы решали в первой части нашего урока: произведение равно 0.

Решение уравнения через совокупность

Данная запись равносильна совокупности двух уравнений. Если один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла, значит, данное уравнение может быть записано с помощью совокупности двух уравнений.

Первое уравнение даст нам множитель, корень $x$, равный 2. Второе уравнение даст нам корень $x$, равное 10/7 или 1,43. Ответ записывается через точку с запятой в порядке возрастания значений корней: 1,43 и 2.

Задания для самостоятельной отработки

Сейчас я на доске запишу несколько вариантов заданий для отработки этой темы дома. Задание первое: решить уравнение $7^3 + 7^2$, которое делится без остатка на 8. Я предлагаю вам поставить данное видео на паузу и попробовать решить эти задания.

После того как вы их решите, или в случае, если вы не справитесь с решением и не сможете самостоятельно решить, включите опять видео и посмотрите полное решение данных заданий. А я тем временем решаю эти задания от начала до конца.

Разбор примеров

Итак, первое уравнение: $x^2 - 8x = 0$. Разность равна 0, это может быть всё что угодно. Решить это уравнение довольно сложно, тем более что оно является квадратным. Однако умение раскладывать многочлен на множители даст нам данное уравнение в более простом виде.

Я вижу, что здесь можно вынести за скобку общий множитель $x$. Тогда в скобках останется $x - 8$. Данное уравнение равносильно совокупности: либо $x = 0$, либо $x - 8 = 0$. Ответы: $x = 0$ и $x = 8$.

Второе уравнение решается аналогично. Здесь можно за скобку вынести переменную $y$. Тогда в скобках останется $5 - 6y$. Данное уравнение равносильно совокупности: либо первый множитель равен 0, либо второй множитель равен нулю. Из первого уравнения $y = 0$, из второго $y = 5/6$.

Следующее уравнение уже представляет собой произведение трех множителей, и это уравнение равносильно совокупности теперь уже из трех уравнений: либо $a + 8 = 0$, либо $6 - a = 0$, либо $4 + a = 0$. Из первого уравнения $a = -8$, из второго — $a = 6$, из третьего — $a = -4$.

Доказательство делимости

Последнее задание: доказать, что выражение делится без остатка на 8. Выражение представляет собой сумму произведений. Первое произведение — трёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 7. Второе — произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен 7.

Здесь есть общий делитель, который является числом $7$ во второй степени. Тогда от первого выражения останется $7$ в первой степени, или просто 7, а от второго выражения — единица. Мы получим произведение $7^2$, умноженное на 8. Один из множителей равен 8, следовательно, всё произведение без остатка делится на 8, что и требовалось доказать.

Домашняя работа и завершение урока

Если у вас получилось понять решение этих уравнений, то следующее задание я записываю в домашнюю работу.

Первое задание — решить уравнения: $y^2 - 3y = 0$; второе задание: $2t - 5t^2 = 0$; и третье задание: $(d + 1)/(7 - d) / (3 + d) = 0$. Второе задание: доказать, что выражение $2^8 + 2^5$ без остатка делится на 9.

Это был наш первый пробный видеоурок. Я надеюсь, что вам было понятно всё, чем мы занимались. Если нет, пожалуйста, напишите мне вместе с ответом на решение данного задания, прикрепив его либо в ЯКласс, куда я выложу видеоролик, либо отправив на почту свои вопросы и пожелания. Я дублирую адрес электронной почты, на которую можно отправлять решенные задания.

Спасибо за работу, ребята. Всего доброго!