Математика — 7 класс — Вынесение общего множителя 2

Вступление и исправление ошибки

Добрый день, ребята! Сегодня я хотела бы с вами позаниматься отработкой темы вынесения общего множителя за скобку.

Но до начала урока хочу извиниться за опечатку, допущенную при съёмке предыдущего видеофайла. Запись задания была сделана некорректно, хотя озвучивая, я сказала правильно: $2^8 + 2^5$. Вы должны были доказать, что это выражение без остатка делится на 9. Извиняюсь за допущенную ошибку. Если вы ещё не выполняли это задание или не смогли с ним справиться, то, пожалуйста, учтите это замечание и сделайте верно второй номер предыдущей самостоятельной работы.

Сегодня мы вспоминаем простые моменты — вынесение общего множителя за скобки — и перейдём к более сложным заданиям.

Разбор первого выражения

Итак, перед вами на доске несколько выражений. Если вы хорошо поняли предыдущую тему, вы можете нажать видео на паузу и попробовать разложить эти выражения на множители самостоятельно. Для всех остальных работаем вместе.

В первую очередь определяем наибольший общий делитель числовых коэффициентов 3 и 15 — это число 3. Смотрим на переменные. Для переменных, присутствующих в первом выражении, во-вторых, аналогичных нет. Значит, ничего за скобку, кроме числа 3, вынести нельзя. Числовой коэффициент 3 является делителем каждого из записанных в левой части выражений.

Я один раз запишу опять подробное решение, после чего будем производить эти вычисления устно. Каждое из выражений я делю на тот множитель, который вынесла за скобку. В результате в скобочках получается выражение: $a - 5b$. Выражение разложено на множители.

Для себя можно сделать проверку. Мы с вами умеем умножать одночлен на многочлен. Для этого каждый член многочлена нужно умножить на этот одночлен и полученное произведение сложить. Используя «фонтанчики», мы получим $3a - 15b$ — ровно то выражение, которое было записано в начале. Значит, пример решён верно.

Работа с переменными и коэффициентами

В следующем выражении числовой коэффициент первого выражения — 5, второго — 2. Наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Значит, единицу как числовой коэффициент нет смысла выносить перед произведением. Рассматриваем переменные. Переменная, присутствующая в первом выражении, $x$, она же присутствует и во втором выражении. Наименьшая степень: в первом выражении $x$ в первой, во втором $x$ в первой, наименьшая степень — $x$ в первой. Переменная $y$ в первом выражении отсутствует, значит, она не является общим множителем. Следовательно, кроме $x$ мы ничего вынести за скобку не сможем. От первого выражения останется 5, от второго — минус $2y$.

В следующем выражении числовые коэффициенты первого и второго слагаемого равны 7. Следовательно, наибольшим общим делителем будет число 7. Переменные $m$, $n$ и $k$, присутствующие в выражении, повторяются в первом и во втором только для переменной $m$. Наименьшая степень переменной $m$ — первая. Выношу: от первого слагаемого останется $n$, от второго — плюс...

В следующем выражении наибольшим общим делителем чисел 6 и 12 является число 6. Именно его я выношу за скобку как общий множитель. Переменная $a$ присутствует в обоих выражениях в наименьшей степени — первой. Значит, именно её я выношу за скобку. В результате деления каждого из слагаемых на $6a$ я получаю $a - 2$. Задание решено.

Работа со степенями

В следующем выражении $x^3 - x$ коэффициенты числовые у каждого из слагаемых по модулю равны 1. Значит, наибольший общий делитель числовым коэффициентом вынесен не будет. Наименьшая степень переменной $x$, встречающаяся в данном выражении, — третья. Значит, именно её и выносим за скобку. Понятно, что мы должны вспомнить свойства степеней: при делении степени с одинаковым основанием показатели вычитаются. Первое слагаемое $x^8$ разделить на $x^3$ будет $x^5$. Второе слагаемое $x^3$ разделить...

Следующее задание: $18ab^2 + 9ab$. Наибольший общий делитель чисел 18 и 9 является число 9. И переменная $a$, и переменная $b$ присутствуют в обоих выражениях. Наименьшая степень переменной $a$ — 1, переменной $b$ — 1. Значит, общий множитель $9ab$ можно вынести за скобку. От первого выражения останется $2b$, от второго выражения останется единица. Задание выполнено.

Если вопросов нет, я иду дальше. Если есть, задавайте их, пожалуйста, в письме.

Сложные примеры и оформление

$22x^2 + 33x^2y$. В первую очередь определяем наибольший общий делитель числовых коэффициентов 22 и 33. Это число 11. Переменная $x$, присутствующая в обоих выражениях, имеет наименьшую степень 2. Переменная $y$, присутствующая в обоих выражениях, имеет наименьшую степень 1. Значит, выражение $11x^2$ является общим, которое можно вынести за скобку. В скобках останется от первого выражения $2$, от второго выражения плюс $3xy$. Задание выполнено.

Следующее: $-4a^4 + 20a^{10}$. Наибольшим общим делителем числовых коэффициентов является число 4. Наименьшая степень переменной, встречающаяся у обоих выражений, — в четвертой. $a^4$ выношу за скобку. В скобках останется от первого выражения минус 1, от второго плюс $5a^6$.

Сейчас данное выражение имеет некорректный вид записи. Некрасиво, когда числовое выражение начинается с отрицательного знака. Если его можно записать по-другому, мы это делаем. Выражение $4a^4$ в скобке, меняем слагаемые местами: $5a^6 - 1$.

Следующее выражение: $3x^2 + 15x^4$.

Вынесение общего множителя за скобки

Сейчас данное выражение имеет некорректный вид записи. Некрасиво, когда числовое выражение начинается с отрицательного знака. Если его можно записать по-другому, мы это делаем. Выражение $4a^4$ в скобке: меняем слагаемые местами — $5a^6 - 1$.

Следующее выражение: $3x^2 + 15x^4 - 21x^6$. В первую очередь определяем наибольший общий делитель числовых коэффициентов 3, 15 и 21. Это число 3. Наименьшая степень переменной $x$, встречающаяся в каждом выражении, — $x^2$. Значит, это и есть общий множитель, который можно вынести за скобку. В результате деления каждого слагаемого на этот общий умножитель мы получим $1 + 5x^2 - 7x^4$. Задание выполнено.

Следующее задание: $4a^2b^3 - 12ab^2 + 20a^2$. Начинаем с нахождения наибольшего общего делителя числовых коэффициентов. Для чисел 4, 12, 20 наибольшим общим делителем является число 4. Наименьшая степень переменной $a$ — первая, наименьшая степень переменной $b$ — первая. В скобках останется $ab^2 - 3b + 5a$. Задание выполнено.

Следующее выражение: $15m^3 - 9m^2n - 12m^2$. В первую очередь начинаем с определения наибольшего общего делителя числовых коэффициентов. 15, 9 и 12 делятся на 3. Это наибольшее число, на которое делится каждый из этих чисел. Значит, множитель 3 можно вынести за скобку. Наименьшая степень переменной $m$ — в квадрате. Переменную $n$ вынести нельзя, она отсутствует в первом и третьем выражении. Значит, общий множитель, который можно вынести за скобку, — $3m^2$. В результате деления каждого слагаемого на общий множитель в скобках останется $5m - 3n - 4$. И задание выполнено.

Следующий пример. Начинаем в первую очередь с определения наибольшего общего делителя числовых коэффициентов. Это число 4. Наименьшая степень переменной $x$ — вторая. Наименьшая степень переменной $y$ — первая. Каждое из слагаемых делим на это выражение. При делении $16x^2y^3z$ на $4x^2yz$ мы получим $4y^2$. Следующее деление даст нам выражение $11yz$. И последнее выражение даст нам значение $z^2$. Надеюсь, что я не ошиблась. На доске, конечно, не очень удобно, все это видно. Отработав простейшие примеры нанесения умножителя числового коэффициента и переменной в определенной степени, вы можете приступить к выполнению подобных аналогичных заданий самостоятельно.

Вынесение целого выражения за скобки

Второй тип заданий — когда общим множителем у нас является не число и не переменная, а целое выражение. Пример: $x(a - b) - y(a - b)$. В отличие от предыдущих выражений, числовой коэффициент равен единице в каждом из выражений, значит, наибольший общий делитель равен одному. Переменные, присутствующие в каждом из выражений, как таковые отсутствуют, а вот выражение $(a - b)$ как множитель является совершенно одинаковым.

Я могла бы сейчас обвести это выражение в полуовал, как мы это делали в 5 классе, но надеюсь, для вас это сейчас уже делать не нужно. Итак, выражение $(a - b)$ является множителем в каждом из произведений. Значит, это одинаковый множитель, который можно вынести за скобку. Я вас учила в пятом классе этот множитель закрывать ладошками. Попробуйте сейчас $(a - b)$ и в первом, и во втором выражении закрыть ладошками. Что у вас останется? Останется выражение $x - y$.

Давайте попробуем потренироваться ещё. $a(3x - 4y) + b(3x - 4y)$. Есть ли здесь общий множитель, который можно вынести за скобку? Да, надеюсь, вы его видите. Это выражение опять-таки $3x - 4y$. И если мы сейчас закроем это выражение ладошками, то вы увидите, что должно остаться в скобках: от первого выражения $a$, от второго выражения $b$. Мы превратили сумму в произведение.

Работа с противоположными выражениями

Следующее выражение: $3x(m - 2n) + (2n - m)$. Как бы внимательно мы ни смотрели на это выражение, одинаковых множителей сейчас мы не видим. Но если оценить выражения в скобках... $m - 2n$ и $2n - m$. Я очень надеюсь, что многие из вас назовут эти выражения противоположными. То есть эти выражения отличаются только знаком.

Выражения называются противоположными, если каждая слагаемая отличается знаком. В первой скобке перед $m$ стоит знак плюс, во второй... В первой скобке перед $2n$ стоит минус, во второй — плюс. Значит, выражения являются противоположными. Для того чтобы исправить ситуацию, применяют искусственный приём.

Предположим, первую скобку я оставлю без изменения: $m - 2n$. А во второй скобке вместо выражения $2n - m$ запишу выражение, противоположное $m - 2n$. Но мы с вами знаем, что эти выражения отличаются знаком. Значит, знак минус я должна вынести перед этим произведением. В результате я меняю плюс, стоящий между двумя выражениями, на минус. И теперь я имею одинаковый множитель $m - 2n$, который можно вынести за скобку. Именно это я сейчас и делаю. $m - 2n$ выношу за скобку, в скобках останется $3x - 4y$.

Вопрос: можно было ли поменять слагаемые в первом произведении? Минус $2n$ и $m$ записать как $2n - m$. Да, можно было сделать и так. Но тогда знак минус появился бы перед этим произведением, то есть перед минус $3x$. Я думаю, что удобнее работать именно со вторым слагаемым, поскольку перед первым выражением стоял положительный знак. Менять его на отрицательный не очень хорошо, а вот второй знак минуса просто оказался в скобках.

Следующий пример: $3a(x - y) - (y - x)$. В таких заданиях очень часто допускаются ошибки, потому что как такового множителя у второго выражения нет.

Ошибки при работе с противоположными выражениями

Рассмотрим пример: $3a(x - y) - y - x$. В таких заданиях очень часто допускаются ошибки, потому что как такового множителя у второго выражения нет. Если первое выражение представляет собой произведение $3a$ на $(x - y)$, то второе выражение — это просто $y - x$. Нам придётся исправить ситуацию следующим образом.

Во-первых, выражения $(x - y)$ и $(y - x)$ являются противоположными. Следовательно, я могу поменять выражение, стоящее во второй скобке, на $(x - y)$, но при этом должна поменять знак с минуса на плюс перед этим выражением. Мне нужно произведение, потому что я могу вынести за скобки общий множитель.

На какое же число умножается выражение $(x - y)$? Мы с вами знаем из курса математики, что при умножении на $1$ произведение не меняется. Поэтому данное выражение можно записать в виде произведения $(x - y)$, умноженного на $1$. И вот теперь ошибку допустить будет сложно, потому что общий множитель $(x - y)$ очень хорошо виден, а закрыв его ладошками, мы узнаем, что останется в скобках. В скобочках останется $3a + 1$. Разложение на множители завершено.

Разложение на множители с разными степенями

Следующее выражение: $(y - 3)^2 - 4(y - 3)$. Общий множитель здесь есть, $y - 3$. Но он встречается в разной степени в обоих выражениях. Мы также, как и для переменной, выбираем наименьшую степень. Наименьшая степень — первая, $y - 3$ в первой степени.

В скобках останется результат деления каждого из выражений на $(y - 3)$. Если $(y - 3)^2$ разделить на $(y - 3)$, мы получим $(y - 3)$ в первой степени, или просто $y - 3$. От второго выражения останется минус $4$. Такой ответ оставить некорректно, так как во второй скобке можно произвести вычисление. Окончательный ответ: $(y - 3)(y - 7)$. Задание выполнено.

Использование равенства квадратов противоположных выражений

Следующий пример: $(x - 5)^2 - 4(5 - x)$. Задание очень похоже на предыдущее, но мы опять видим, что в скобках стоят противоположные выражения. Вопрос: нужно ли сейчас менять слагаемые во второй скобке и менять знак перед выражением или можно это задание решить проще?

Можно решить проще. Мы с вами знаем, что квадраты противоположных выражений равны. Значит, не меняя никаких знаков, мы безболезненно можем в первой скобке вместо выражения $(x - 5)$ записать выражение $(5 - x)$. Таким образом мы получили одинаковый множитель $(5 - x)$ в каждом из выражений. Именно его я сейчас и вынесу за скобку. От первого выражения останется $(5 - x)$, от второго — минус $4$. Понятно, что данное выражение нужно преобразовать. $(5 - x)(1 - x)$ — это и есть окончательный ответ в данном примере.

Типичная ошибка при записи выражений в скобках

Следующее задание: $(x + 2)(3y - 1) - (x + 2)(2y - 7)$. Мы видим, что общий множитель в каждом из выражений присутствует как отдельный множитель выражения $(x + 2)$. Он является одинаковым. Значит, ровно это выражение я могу вынести за скобку. Тогда в первой скобке останется $3y - 1$, а во второй скобке, если мы уберем, вернее, закроем ладошками $(x + 2)$, будет выражение $2y - 7$.

Можете ощутить себя сейчас на уроке и увидеть гнев в моих глазах с вопросом: какая грубейшая ошибка сейчас допущена на доске? Я надеюсь, что каждый из вас для себя сейчас ответил на этот вопрос. Во второй скобке записана разность не переменных, не чисел, а выражений; показав, что это выражения, каждое из них мы должны были бы записать верно в скобках.

Исправляю грубейшую ошибку и раскрываю скобки во второй скобке. Вспоминаем материал 6 класса. Перед первой скобкой $3y - 1$ ничего не стоит, то есть это знак плюс. Следовательно, скобки можно просто опустить. Перед второй скобкой стоит знак минус. Значит, при раскрытии скобок каждое слагаемое поменяет свой знак на противоположный. Было $2y$, станет минус $2y$. Было минус $7$, станет плюс $7$. Видим, что во второй скобке у нас появились подобные слагаемые. Первая скобочка $(x + 2)$ остается неизменной. Во второй скобке — $x + 6$. Задание выполнено.

Решение квадратных уравнений методом разложения на множители

Используя методы разложения на множители, мы на прошлом уроке уже с вами поняли, что мы можем выполнять сложные задания на решение уравнений. Пример первый. Решить уравнение $x^2 + 7x = 0$. Многие из вас уже прислали мне самостоятельную работу с решением подобных уравнений.

Вспомним решение. Видно, что в левой части равенства находится сумма. Решить сейчас это задание мы не сможем, но если мы представим сумму в виде произведения, мы получим произведение двух выражений, равное $0$, и сможем перейти к совокупности. Очень хорошо видно, что разложить на множитель данное выражение можно вынесением общего множителя за скобки. Общим множителем здесь является $x$. В скобочках остается $x + 7$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: либо $x = 0$, либо $x + 7 = 0$. Повторяю, это совокупность, квадратная скобочка. Первое уравнение дает ответ $x = 0$. Второе уравнение дает ответ $x = -7$. На прошлом уроке я говорила, что в ответе корни записываются в порядке возрастания. Однако некоторые из вас это не учили или не услышали. Многие вообще не записали ответ. Кто-то записал этот ответ так, как он был получен в последней совокупности. Обратите внимание: в порядке возрастания.

Следующее уравнение: $z^2 - 3z = 0$.

Правила записи ответов

На прошлом уроке я говорила, что в ответе корни записываются в порядке возрастания. Однако некоторые из вас это не учили или не услышали. Многие вообще не записали ответ. Кто-то записал этот ответ так, как он был получен в последней совокупности. Обратите внимание: в порядке возрастания.

Решение уравнений методом вынесения множителя

Следующее уравнение: $z^2 - 3z = 0$. Опять-таки, решение данного уравнения осуществляется с помощью метода вынесения общего множителя за скобки. Общим множителем является $z$. В скобках останется $z - 3$, и данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: либо $z = 0$, либо $z - 3 = 0$. Первый корень дает уравнение $z = 0$, второй корень дает... Второе уравнение дает корень $3$. Ответ в данном уравнении: $0; 3$.

Следующее уравнение: $8y^2 - 3y = 0$. Наибольшим общим делителем чисел $8$ и $3$ является $1$. Значит, числовой коэффициент в данном уравнении за скобку вынести нельзя. Переменная $y$, встречающаяся в обоих выражениях, наименьшую степень имеет первой. Это и есть общий множитель. В скобках останется $8y - 3$. И опять-таки, данное уравнение равносильно совокупности: либо первый множитель равен $0$, либо второй множитель равен $0$.

Я ещё раз повторю определение, которое мы записали с вами ещё в 6 классе: произведение равно $0$ тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Первое уравнение имеет корень $y$, равный $0$. Второй — $3/8$. Данный ответ нельзя оставлять в таком виде, потому что дроби со знаменателем $8$ мы с вами знаем, приводятся к десятичному виду. Следовательно, первый корень $0$, второй $0,375$. Ответ записываем в порядке возрастания корней: $0; 0,375$.

Последнее уравнение: $10t^2 + 2t = 0$. Вы видите, что все задания аналогичны. Последнее уравнение немного сложнее предыдущих, потому что общим множителем здесь, кроме переменной $t$, является числовой коэффициент $2$. Тогда в скобках останется $5t + 1$. И данное уравнение равносильно совокупности. Первое уравнение дает корень $0$. Второе уравнение дает корень $-1,5$.

Я напоминаю, что я очень просила вас в подобных выражениях записывать значения чисел в виде дробей. Если эти числа приводятся к десятичному виду, мы приводим. Если нет — это окончательный ответ уравнения. В данном случае приводится: первый корень $t$ равен $0$, второй — $-0,2$. Ответ записываем в порядке возрастания: $-0,2; 0$.

Доказательство делимости выражений

Ну и последнее задание аналогичное тем, которые мы решили вчера. Доказать, что значение выражения кратно какому-либо из значений. Предположим, $16^6 - 2^{20}$. Необходимо доказать, что это выражение без остатка делится на $15$. Мы с вами использовали символ записи «деление без остатка» — три точки.

Как доказать, что данное выражение без остатка делится на $15$? Выражение немного более сложное, чем задание в предыдущей домашней работе, потому что там степени имели одинаковые основания. Здесь основания у степеней разные. Напрашивается привести данные выражения к степеням с одинаковым основанием. Мы с вами знаем, что $16$ — это не что иное, как $2$ в четвертой степени. Но у нас не просто $16$, а $16$ в шестой. $2^{20}$ оставляю без изменения.

При возведении степени в степень показатели перемножаются. Я получу $2^{24} - 2^{20}$. Нет правила при вычитании степени с одинаковым основанием или одинаковым показателем. У нас есть свойства степеней только деления, умножения и возведения в степень. Здесь также, как и в предыдущих заданиях, поможет умение вынести общий множитель за скобку. Наименьшая степень встречающегося здесь выражения — $20$. Именно её я и выношу за скобку.

Результат деления $2^{24}$ на $2^{20}$ поможет мне определить свойства степеней. При делении степени с одинаковым основанием показатели вычитаются. Получится $2^4$. $2^{24}$ разделить на $2^{20}$ будет $2^4$. Так как $2$ в четвертой степени — это $16$, то мы можем упростить выражение, стоящее в скобках. Это будет $2^{20}$, умноженное на $15$. Как видим, множитель $15$ присутствует в записи данного произведения. Раз это так, значит, данное выражение без остатка делится на $15$.

Рассмотрим еще один пример. Разность $18^6 - 9^6$. Необходимо доказать, что эта разность делится без остатка на $21$. Можете попробовать своей силой решить это задание самостоятельно, нажав паузу. С остальными я решаю вместе. Число $18$ содержит в себе множитель $9$, потому что $18$ можно представить как $2$, умноженное на $9$. Мы знаем, что при возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в эту степень. При умножении степени с одинаковым показателем основания перемножаются, показатель остается без изменения.

Таким образом, в данном выражении появляется общий множитель $9^6$, который можно вынести за скобку. От первого произведения останется $2^6$, от второго — единица. Тогда это выражение можно преобразовать. $2^6$ — это $64$. Мы получаем произведение $9^6$ на $63$. Число $63$ содержит в себе множитель $21$, это $21$, умноженное на $3$. Из этого следует, что выражение $9^6 \cdot 21 \cdot 3$ без остатка делится на $21$. А раз это так, значит, на $21$ абсолютно делится и выражение $18^6 - 9^6$. Что и требовалось доказать.

По окончании просмотра видео я попрошу вас открыть вложенный файл и попробовать по вариантам решить самостоятельную работу, которая будет вам предложена для закрепления данного материала. Спасибо за внимание. Всего доброго, ребята!

Доказательство и завершение темы

А раз это так, значит, на 21 абсолютно делится и выражение $8^6 - 9^6$. Что и требовалось доказать.

Самостоятельная работа

По окончании просмотра видео я попрошу вас открыть вложенный файл и попробовать по вариантам решить самостоятельную работу, которая будет вам предложена для закрепления данного материала.

Спасибо за внимание. Всего доброго, ребята!