Сокращение алгебраических дробей

Введение в тему сокращения дробей

Итак, всем доброго дня! Сегодня мы с вами поговорим о сокращении алгебраических дробей. Это тема нашего сегодняшнего урока. Во-первых, мы вспомним вообще, что такое сокращение, что можно сокращать, а что нельзя сократить.

Повторение: сокращение обыкновенных дробей

Обычно мы привыкли к тому, что сокращаем обыкновенные дроби, где есть числитель и знаменатель. Посмотрите, пожалуйста, на первую дробь. Это дробь 15/20. Как мы вообще сокращаем дроби? Мы ищем у числителя и знаменателя наибольший общий делитель. В данном случае это 5, и мы сокращаем нашу дробь до 3/4. Помня о том, что 3/4 — это дробь, не забываем перевести её в десятичную.

Рассмотрим с вами другую дробь — 121/11. Мало того что эта дробь неправильная, все прекрасно видят это, мы знаем, что 121 — это квадрат 11, поэтому сокращаем всё это на 11. Получается у нас с вами 11/1, или просто число 11. При сокращении дробей у нас может выйти как дробное число, как в первом случае, так и целое число. Выходит по-разному.

Условия для выполнения сокращения

Давайте подумаем, а вот такое мы с вами можем сократить или нет? Записываю пример. Можно ли сокращать вот такую дробь? Естественно, что сразу сокращение выполнить невозможно, потому что числитель представляет из себя сумму чисел. Поэтому никакой возможности для сокращения нет. Что мы сделаем? Мы, конечно же, сейчас посчитаем этот числитель и потом выполним сокращение.

Такой пример у нас уже был, решается очень легко. Если числитель или знаменатель представляют из себя сумму или разность каких-то выражений, то сразу выполнить сокращение невозможно. Хочу обратить ваше пристальное внимание на это. Если у нас стоит сумма или разность, то выполнить сокращение нельзя — нужно этот числитель или знаменатель каким-то образом преобразовывать.

Если же у нас в числителе или в знаменателе стоит произведение, то сокращение выполнять можно. Например, вот такая дробь. Здесь, в связи с тем, что стоит знак умножения, сокращения выполнять можно последовательно сразу. Вы можете посчитать результат, потом выполнить сокращение, а можно сразу сократить.

Например, 20 и 8. Мы знаем, что у них наибольший общий делитель — это 4. Мы получим 14/5. Увидим, что это, во-первых, дробь неправильная, во-вторых, она переводима в десятичную дробь. Для этого я домножаю дробь на 2, получаю 28/10, ну и, соответственно, 2,8.

Значит, первое: сокращение дроби может привести к получению целого числа. Второе: мы можем сокращать только в том случае, если в числителе и знаменателе стоит знак умножения или знак деления. Если же стоит сумма или разность, то сначала нужно выполнить преобразование числителя и знаменателя. Всё это мы с вами говорили в 6 классе.

Определение алгебраической дроби

А что же такое алгебраическая дробь? Мы же будем сокращать не просто дроби, а алгебраические дроби. Так вот, алгебраической дробью называют отношение двух многочленов $P$ и $Q$, где многочлен $Q$ — знаменатель алгебраической дроби. То есть алгебраическая дробь — это два многочлена: многочлен $P$ и многочлен $Q$.

Кроме того, мы знаем, что деление на многочлен должно обладать определенным свойством. Я думаю, вы догадались, что многочлен $Q$ не должен быть равен 0. Это важное ограничение, которое мы должны всё время соблюдать. Еще раз: алгебраическая дробь — это отношение двух многочленов $P$ и $Q$. Запись $P$, деленная на $Q$, — это и есть алгебраическая дробь, знаменатель которой не должен быть равен 0.

Сокращение алгебраических дробей

Давайте попробуем сейчас посокращать алгебраические дроби. Сократить алгебраическую дробь — это значит разделить её числитель на знаменатель, то есть выполнить деление на наибольший общий делитель.

Записываем номер 1. Первая дробь под буквой $a$: $a^4$ разделить на $a^3$. При делении мы вспоминаем определенное правило: при делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются. То есть мы из четверки вычитаем тройку и получаем $a^1$, просто $a$.

Обратите внимание на следующее задание. Казалось бы, всё то же самое: $a^3$ разделить на $a^4$. Есть один небольшой нюанс: у нас показатель в знаменателе больше показателя в числителе. Что это означает? Это означает, что наш $a$ в первой степени останется в знаменателе. Вспомните, пожалуйста, мы уже об этом говорили: это единица, деленная на $a$.

Когда мы выполняем деление или сокращение алгебраических дробей, мы всегда помним о том, что знаменатель не должен быть равен 0. То есть, если $a^3$ не равен нулю, следовательно, $a$ не равен нулю. А здесь у нас $a^4$ не равен нулю, и, следовательно, $a$ не равен нулю. Ограничение на знаменатель мы накладываем всегда.

Сокращение происходит по правилу деления степеней с одинаковыми основаниями: показатели степени вычитаются. Единственный нюанс, на который стоит обратить внимание: если у нас показатель степени в знаменателе больше, чем в числителе, то и само основание в какой-то степени остается в знаменателе.

Правила сокращения степеней

Ограничение на знаменатель мы накладываем всегда. Сокращение происходит по правилу деления степеней с одинаковыми основаниями: показатели степени вычитаются. Единственный нюанс, на что обратить внимание: если у нас показатель степени в знаменателе больше, чем в числителе, то и само основание в какой-то степени остается в знаменателе.

Работа с многочленами и отрицательными коэффициентами

Смотрим второй пример. Я не буду читать многочлены, у нас делятся два многочлена, такая алгебраическая дробь. Первое, на что нужно обратить внимание, — это на присутствие минусов в числителе и в знаменателе. Что такое минус вообще? Вспоминаем, что минус — это коэффициент $-1$. На это обращаем внимание и помним о том, что $-1$ и $-2$ как числовые коэффициенты можно сократить. Сокращаем их.

Дальше нам осталось выполнить деление одночлена на одночлен. Этим мы тоже с вами занимались. Мы поделим степени с одинаковыми основаниями: $b$ в сотой поделим на $b$ в 101-й, $a$ в пятой на $a$ в третьей, $z$ на $z$ в четвертой. Такими парами мы будем выполнять сокращение.

В итоге получится: $b$ в сотой разделить на $b$ в 101-й. Получится $b$ в первой степени, но так как 101 больше, чем 100, то $b$ в первой степени окажется в знаменателе. $a$ в пятой поделим на $a$ в кубе, получится $a$ в квадрате. 5 у нас стоит в числителе, значит, $a$ в квадрате тоже останется в числителе. $z$ мы поделим на $z$ в четвертой степени, у нас получится $z$ в кубе. И так как показатель 4 больше, чем 1, то $z$ в кубе останется у нас в знаменателе.

При этом мы помним, что весь знаменатель нашей дроби — то есть $-b^{101} \cdot u^3 \cdot z^4$ в изначальной — не должен быть равен 0. Так как это произведение, каждый из множителей не равен нулю: $b \neq 0$, $u \neq 0$ и $z \neq 0$. Все такие ограничения наложены на эту алгебраическую дробь. Еще раз обращаю ваше внимание: где больше показатель, туда и запишется остаток.

Сокращение коэффициентов и степеней

Следующий пример. Вот такая алгебраическая дробь, её тоже требуется сократить. Здесь всё просто, минусов никаких нет. 30 и 48 — замечательные числа, которые имеют наибольший общий делитель 6. Сокращаем коэффициент с коэффициентом, степень с основанием. 30 и 48 сокращаем на 6, получаем 5 восьмых.

$p$ в квадрате на $p$ в третьей: $p$ в третьей больше, значит, $p$ останется в знаменателе. $q$ в третьей на $q$ в третьей сокращаем, и мы получаем единицу. Единица никуда не пишется, так как $q^3$ на $q^3$ разделилось само на себя. Такая получилась дробь: 5 восьмых $p$.

При этом мы обязательно должны указать, что у нас $p \neq 0$ и $q \neq 0$. Почему $p$ и $q$ не равны 0? Вот здесь у нас стоит умножение, 48 и так не равно нулю. $p$ в кубе не равно нулю, значит, $p \neq 0$. $q$ в кубе не равно 0, значит, и $q \neq 0$.

Приведение скобок к единому виду

Перейдем к следующему примеру. Казалось бы, всё то же самое. Единственное, что вас может засмутить, — это вот эта скобочка. Что с ней делать? Ведь это же тоже отдельный множитель: с минус $d$ в числителе, а в знаменателе $d - c$. Значит, мы должны привести к какому-то единому виду.

Для того чтобы это сделать, мы можем из любой скобки — хотите из числителя, хотите из знаменателя — вынести минус и при этом поменять знаки внутри скобок. Сделаю это, допустим, для числителя, чтобы было проще. У меня получится всё то же самое, только с минусом: $-13x^3y^5 \cdot (d - c)$. Минус вынесли, внутри скобок знаки поменяли. А знаменатель пока оставим прежним, он нам нужен такой, какой он есть.

Минус, который стоит в числителе, можно вынести перед дробью. А дальше производим сокращение так, как это делали в предыдущих примерах. Коэффициент сокращаем с коэффициентом. Получится $1/2$, $x$ в третьей на $x$, получится $x$ в квадрате. $y$ в четвертой на $y$ в пятой: $y$ в пятой стоит в знаменателе, значит, $y$ в квадрате тоже останется в знаменателе. $z$ в пятую на $z$ в седьмую — значит, $z$ в квадрате останется тоже в знаменателе. И $(d - c)$ и $(d - c)$ сократятся друг с другом, получится 1.

Единственное, что нам сейчас осталось сделать, — это переписать нашу дробь в нормальном виде. Единичка вот эта вас должна смущать, потому что мы никогда не пишем единицу в качестве коэффициента. Вот такой вот ответ.

Важность ограничений

И не забываем наложить ограничение на знаменатель. У нас, посмотрите здесь, $x, y, z$ и $d - c$ не равны 0. То есть $x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0$. И ещё у нас есть выражение $d - c \neq 0$. Минус $c$ перенесем в другую сторону, и у нас получится $d \neq c$. Вот такие ограничения.

Эти ограничения, которые мы сейчас прописываем просто в скобках, помогут вам при решении подобных уравнений, чтобы корни не потерять и лишние корни себе не присвоить. Вот для чего нужно прописывать эти ограничения.

Следующий возьмем пример. Такая вот алгебраическая дробь нам дана. В принципе, 49 и 7 — нормально, $x$ и $x$ в квадрате — нормально всё, а вот с $-d^2$, деленное на $(d - c)^2$. Если мы с вами вернемся к предыдущему примеру, то увидите: помните, мы вот здесь минус вынесли для того, чтобы $c$ и $d$ поменять местами в разности? А теперь посмотрим, такая ли здесь ситуация или она иная. Если будете внимательны, то увидите, что это не просто $c - d$ и $d - c$, это квадрат этой разности. Чтобы правильно всё сделать, нужно это учитывать.

Свойства квадрата разности

Если мы с вами вернемся к предыдущему примеру, посмотрим на него, то увидите: мы вот здесь минус вынесли для того, чтобы $c$ и $d$ поменять местами в разности. А теперь посмотрим, такая ли здесь ситуация или она иная. Если будете внимательны, то увидите, что это не просто $c - d$ и $d - c$, это квадрат этой разности, для того чтобы правильно всё сделать.

Вспомним свойства квадрата разности, которые мы изучали с вами, а именно, что $(a - b)^2$ равно $(b - a)^2$. То есть внутри квадрата разности можно менять местами выражения $a$ и $b$, можно поменять местами, и никаких минусов при этом не выносится.

Перепишу свое выражение в такой форме. В числителе, допустим, поменяю $49xy$. Можно менять там, где вам угодно: хотите в числителе меняйте, хотите в знаменателе. Это не играет никакой роли. То есть внутри квадрата разности можно поменять местами выражения без всяких выносов минуса.

И теперь воспользуемся тем же самым правилом, начинаем сокращать, как это делали в предыдущих примерах: коэффициент с коэффициентом. Получится $7x$ и $x^2$, получится $x^2$. Кстати, знаменатель — значит, и $x^2$ уйдет в знаменателе. Сокращать не с чем, он у нас одиночка. И $(d - c)^2$ сократится само собой, получится единица.

То есть у нас получилось вот такое выражение. Не забудем написать, что у нас $x \neq 0$. Смотрим на знаменатель: вот сюда $x \neq 0$ и $d - c \neq 0$, следовательно, $d \neq c$. То есть вот такие ограничения наложим. Очень полезное свойство, будет применяться часто.

Сокращение степеней с одинаковым основанием

Следующая алгебраическая дробь: $y^{-8}$ в $10$-й степени, деленная на $y^{-8}$ в $8$-й степени. Но здесь вообще всё просто, то есть это на десерт вам такое задание. Вместо $y^{-8}$ могло стоять любое другое выражение, у нас получается степень с одинаковым основанием.

Основание степени равно $y^{-8}$. Поэтому по всем правилам мы сокращение выполняем, вычитаем показатели степеней. И то, что у нас останется, будет в числителе, потому что десятка больше восьмерки. Получится $(10 - 8)$ — всё это в квадрате.

В задании не сказано разложить, представить в виде многочлена и так далее, просто сократить. Поэтому здесь формулу квадрата разности не применяем, оставляем как есть. Посмотрите еще раз до этого момента видео после окончания всего урока. И обратите внимание на то, что все эти примеры простые и сокращение выполняется сразу же.

Правила сокращения дробей

Перейдем сейчас с вами к более сложным вещам, где сразу сократить нельзя. И вспомним заодно, что сокращения дробей нельзя выполнять, если у нас в числителе сумма или разность. Смотрите на первые два примера. У первой дроби в числителе и в знаменателе суммы, у второй дроби в числителе и в знаменателе разности.

То есть сразу выполнять сокращение дробей ни в коем случае нельзя. Нужно добиться того, чтобы в наших числителях и знаменателях было произведение. И вот тогда произведения можно будет сократить. А как это сделать? В этом нам помогут все наши предыдущие уроки, где мы учились раскладывать многочлен на множители различными способами. Именно сегодня мы с вами попробуем это применить для сокращения алгебраических дробей.

Разложение на множители и сокращение

Смотрим внимательно на числитель первой дроби и видим, что здесь можно вынести общий множитель за скобки и посмотреть, что получится дальше. Итак, в числителе выношу $3c$ за скобки. В числителе останется $c^2 + d^2$. В знаменателе внимательно смотрю и выношу $6d$ за скобки.

Посмотрите, мы получили произведение. Специально нарисуем знаки умножения. Это уже произведения, и значит, можно выполнять сокращение этой дроби. Понятно, что у нас $3$ и $6$ сократятся, в знаменателе останется двоечка. $c$ и $d$ не сокращаются, поэтому они так и остаются. И $c^2 + d^2$ тоже у нас с вами сократится. И получится дробь $c$, деленная на $2d$.

Здесь нужно обратить внимание на то, что знаменатель у нас довольно-таки сложный, поэтому мы просто запишем, что он не равен $0$: $6dc^2 + 6d^3 \neq 0$. Просто запишем, не будем вытаскивать отсюда $c$ и $d$, так и оставим.

Следующий, второй пример, давайте посмотрим. Что у нас здесь? Опять-таки числитель — разность, знаменатель — разность, а нужно произведение. Значит, разложим на множители в числителе и разложим на множители в знаменателе. В первом случае в числителе мы видим общий множитель $c$, выносим его за скобки. В знаменателе мы видим разность квадратов: $25$ — это $5$ в квадрате, поэтому мы должны увидеть разность квадратов.

Разложим по формуле разности квадратов: $(5 - c) / (5 + c)$. Есть общий множитель, только внутри скобок у нас знак: здесь $c - 5$, а здесь $5 - c$. И мы с вами использовали уже этот прием: нужно вынести минус за скобки, например, в числителе. А вот теперь можно выполнять сокращение, и этот минус можно вынести перед дробью.

Выполняем сокращение, минус ставим перед дробью. $(5 - c)$ и $(5 - c)$ сокращаем. Остается $c$, деленное на $5 + c$. Больше никаких сокращений выполнить невозможно, потому что у нас в знаменателе стоит сумма, и, естественно, ничего сделать невозможно. Дальше как-то разложить нельзя ничего. Запишем, что $25 - c^2 \neq 0$. Вот таким вот образом такое выражение у нас получилось.

Следующий, посмотрим, что еще можно применить. Вот такое, казалось бы, очень навороченное и страшное выражение. Давайте с ним попробуем разобраться. Сначала с числителем. Начинаем всегда разложение. Пробуем вынести общие множители за скобки, если они есть. А они здесь есть. Выносим.

Разбор сложного выражения

Следующий посмотрим, что еще можно применить. Вот такое, казалось бы, очень навороченное и страшное выражение. Давайте с ним попробуем разобраться. Сначала с числителем. Начинаем всегда с разложения. Пробуем вынести общие множители за скобку, если они есть. А они здесь есть. Выносим $b^2$ за скобки, и остаётся у нас $c - b$.

В знаменателе, выполняя многочленное преобразование, мы выносим $48ab^3$ за скобки. В скобках остаётся $b^2 - c^2$. Числовые коэффициенты можно сразу сократить. Мы видим, что у нас здесь общий множитель 12, и получится $3/4$. Давайте попробуем сократить. Здесь будет $3/4$, а в кубе $a$, и $a$ сокращаем — остаётся $a^2$. $b^2$ на $b^3$ сокращается, остаётся $b$.

И смотрим, что со скобками. Мы видим, что в знаменателе у нас разность квадратов. Разложим её. Такое получается выражение. Всё было бы неплохо, только у нас в разности нужно поменять местами, как мы это делали в прошлом примере. Вынесем минус за скобки. Хотите в числителе, хотите в знаменателе — это не имеет никакого значения. Минус выносим перед дробью и сокращаем $(b - c)$. Остаётся минус $3a^2$, делённое на $4b(b + c)$.

Не забываем указать, что наш знаменатель $48ab^5 - 48ab^3c^2$ не равен нулю. Опять-таки, знаменатель сложный, поэтому никаким образом мы $a$ и $b$ вытаскивать отсюда не будем. Будет такое уравнение: нужно будет вытащить знаменатели $b, c, a$, чему они не равны, тогда будем решать. Пока нашими средствами решить это недоступно. То есть вот такая получилась у нас с вами алгебраическая дробь. Знаменатель можно расписывать, то есть написать $4b^2 + 4bc$, а можно не расписывать, можно оставить вот в таком виде. Лучше даже оставить в таком виде. Он у нас уже разложен на множители, возможно, где-то в решении это в дальнейшем пригодится.

Работа с квадратом суммы и разности

Следующий пример возьмём. Вот такой вот. Что у нас здесь? Я думаю, что вы догадались, что нам нужно в числителе выносить за скобки. Ну и в знаменателе мы видим формулу сокращённого умножения, а именно квадрат суммы. Все понимают, что $(Q + 8)^2$ — это $(Q + 7)$, умноженное на $(Q + 9)$. Я бы здесь просто квадрат зачеркнул, а здесь зачерпнул всё выражение. Получится $3Q$, деленное на $Q + 8$. И обязательно пишу знаменатель, что $Q + 8$ во второй степени не равно 0. Можете записать вот этот начальный знаменатель, который был там, — можно и так, и так писать.

Еще один пример. В числителе видим квадрат разности, в знаменателе видим общий множитель. Дальше, после разложения числителя и знаменателя на множители, видим, что внутри скобок у нас разные знаки. Не обязательно из знаменателя выносить минус. У нас есть свойство квадрата разности: $(-b)^2 = (b - a)^2$. И вот это свойство мы вот сюда сейчас применим. Просто поменяем внутри квадрата. Сократим с вами скобки. Дальнейшее сокращение невозможно, так как числитель представляет из себя разность $n$ и произведения. И напишем, что знаменатель не равен 0. Не будем вытаскивать $n$ из знаменателя, чему $n$ не равен. То есть вот такое вот сокращение получается.

Разность кубов и основные правила

Ну и ещё один пример вот такого вот характера. Опять-таки, когда мы видим в числителе и в знаменателе разность или сумму, первое, что мы должны с вами сделать — это представить числитель и знаменатель в виде произведения. То есть многочлены в числителе и в знаменателе нужно разложить на множители. Это самое первое.

В числителе — разность квадратов, а в знаменателе — разность кубов. Эта разность — выражение, умноженное на неполный квадрат их суммы. Замечаем первую скобку: и в числителе, и в знаменателе её можно сократить. Никаких квадратов нет, поэтому придётся выносить минус. Вынесем минус, я сразу его поставлю перед дробью, и вынесу минус в числителе — там немного попроще это будет сделать. И выполняю сокращение одинаковых множителей в числителе и в знаменателе. Вот такое получится у нас выражение.

Обязательно запишу, что знаменатель начального выражения не равен 0. Больше, к сожалению, никаких сокращений выполнить невозможно, потому что в знаменателе у нас не полный квадрат разности. Поэтому никаким образом свернуть по формуле мы его с вами не сможем. Поэтому мы оставляем всё как есть.

То есть вот такие у нас с вами получились сегодня разборы выражений. Значит, ещё раз давайте проговорим основные правила. Правило первое: сокращать можно только те алгебраические дроби, у которых числитель и знаменатель представляют из себя произведение. Только такую дробь можно сократить. Если у нас в числителе и в знаменателе сумма или разность, то такие алгебраические дроби сокращать сразу нельзя.

Что нужно сделать? Нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Только после этого. Только после разложения, если мы выполним вот это разложение, мы можем сократить. У нас получится дробь, у которой в числителе произведение и в знаменателе произведение, и после этого можно выполнять сокращение.

Условие для сокращения дробей

Только после разложения, если мы выполним с вами это разложение, только после этого мы можем сократить. У нас получится дробь, у которой в числителе произведения и в знаменателе произведения, и после этого можно выполнять сокращение.

Работа с разностью квадратов

Следующий момент. Если у нас есть в числителе и в знаменателе ситуация типа такой, то мы можем без вынесения всяких знаков — неважно где, в числителе или в знаменателе — поменять внутри квадрата разности выражение местами. И нам это ничем не грозит.

Нет никаких квадратов, а просто есть дроби, у которых в числителе разность, а в знаменателе разность, где выражения поменялись местами. В этом случае обязательно нужно вынести минус за скобки, и только после этого можно производить сокращение. Тут получится единица, тут получится минус единица. То есть только так можно поступить, больше никак.

Алгоритм сокращения произведений

При сокращении дробей, когда вы уже разложили всё в числителе и знаменателе на множители и у вас получилась ситуация «произведение на произведение», мы действуем следующим образом.

Если у нас коэффициенты сокращаются с коэффициентами, дальше мы сокращаем степени. Здесь тоже степень с одинаковым основанием — с одинаковыми мы тоже сокращаем. То есть: коэффициент с коэффициентами, степени с одинаковыми основаниями. Вот таким вот образом мы с вами выполняем сокращение алгебраических дробей.

Завершение урока

Желаю вам удачи! Домашнее задание будет выложено в электронном дневнике к этому уроку. Спасибо за внимание!