Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов

Введение в тему

Всем здравствуйте! Наш сегодняшний видеоурок посвящен разложению многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов. Вспомним с вами, какие приемы мы знаем для разложения многочлена на множители. Мы с вами уже успели изучить вынесение общего множителя за скобки, метод группировки и разложение с помощью формул сокращенного умножения.

Сегодня мы с вами на уроке будем пользоваться всеми этими приемами и изучим еще несколько новых, так называемых искусственных приемов разложения многочлена на множители. Чтобы было более понятно, мы с вами посмотрим разложение на множители на примерах.

Применение вынесения общего множителя и разности квадратов

Итак, пример первый. Задание: «Разложите на множители». Дан многочлен $10x^2 - 10y^2$. Легко заметить, что у нас здесь есть десяточка. Это коэффициент, который можно легко вынести за скобки. Выносим 10 за скобки. В скобках остается $x^2 - y^2$.

Все уже догадались, что $x^2 - y^2$ — это разность квадратов. Мы её можем легко разложить на множители. Если вы внимательно посмотрите на этот пример, то увидите метод, который мы с вами применили: это вынесение общего множителя за скобки, а затем уже разложение разности квадратов по формуле сокращенного умножения. Легкий довольно-таки примерчик.

Попробуем решить с вами еще один. Посмотрим на второе выражение. Легко заметить, что 48 и 75 имеют наибольший общий делитель — это тройка. Поэтому, естественно, мы тройку будем выносить за скобки. Что касается буквенной части, то мы можем заметить: $p$ в первом одночлене есть, но во втором одночлене его нет. В первом одночлене есть $q$, и во втором одночлене $q$ в третьей степени. Поэтому выносить мы с вами будем $q$ в меньшей степени, а именно просто $q$.

Выносим с вами общий множитель за скобочки. Получаем: от первого одночлена остается $16p^2$, а от второго одночлена — $25q^2$. Видим, что в скобках у нас разность квадратов, и раскладываем эту разность квадратов по формуле разности квадратов: разность этих выражений, умноженная на сумму этих выражений. Вот такой вот у нас с вами получится ответ. Опять мы с вами начали с вынесения общего множителя за скобки. Он вот такой вот интересный, красивый.

Работа с дробными коэффициентами и буквенной частью

В первых двух примерах мы начинали с вынесения общего множителя за скобки. Так как здесь есть числовые коэффициенты, подумаем, сможем ли мы вынести какой-то коэффициент за скобки. Посмотрите внимательно на первый одночлен. Мы с вами такое уже делали: прежде чем говорить о том, есть ли здесь какой-либо коэффициент, его нужно выделить.

Вспоминаем, что у нас здесь стоит единица в числителе, а в знаменателе стоит девятка. То есть коэффициент первого одночлена равен $1/9$. Коэффициент второго одночлена равен $3/16$. Но чтобы понять, можем ли мы что-то из коэффициентов вынести за скобки, его нужно превратить в неправильную дробь. Делаем это. Получаем следующий одночлен: $\frac{1}{9}mn^5 - \frac{49}{16}m^3n$.

Смотрим внимательно на коэффициенты и понимаем, что у числителей наибольший общий делитель — единица, и у знаменателей наибольший общий делитель — единица. Поэтому, естественно, никакой коэффициент мы выносить не будем. Мы можем вынести только что-то из буквенной части. Мы смотрим, какие буквы встречаются в каждом одночлене, и выносим их в меньшей степени. То есть за скобки мы вынесем с вами $mn$.

Таким вот образом, в скобках у нас останется $\frac{1}{9}n^4 - \frac{49}{16}m^2$. Будем внимательно смотреть на то, что у нас в скобках получилось. Можем ли мы что-то здесь еще применить? Если вы внимательно посмотрите, то увидите здесь формулу разности квадратов. $\frac{1}{9}$ — это $(\frac{1}{3})^2$, $n^4$ — это $(n^2)^2$, а $\frac{49}{16}$ — это $(\frac{7}{4})^2$, и $m^2$ — это $m$ соответственно. То есть вот такое у нас получилось с вами разложение. Все было бы неплохо, если бы не $\frac{7}{4}$, потому что это дробь, которая переводима и в десятичную, из которой можно выделить целую часть. Вам останется в этом примере только лишь перевести $1,75$ в десятичную дробь, и ответ будет получен. Вы помните это самостоятельно.

Разложение трёхчлена

Возьмем следующий с вами пример. Если внимательно на него посмотреть, то мы видим трёхчлен. Где у нас встречаются трёхчлены? Они включаются только в формулу сокращенного умножения, а именно: квадрат разности, квадрат суммы.

Если посмотреть на коэффициенты, то можно увидеть, что у нас есть $-20$ и $-50$. То есть у всех этих чисел наибольший общий делитель — это 2. И мы, соответственно, можем вынести его за скобки. Это первое. Второе, есть у нас и общая буквенная часть — $a$ в наименьшей степени, которая встречается во всех одночленах данного трёхчлена. Её тоже вынесем за скобки.

Но если мы будем с вами идти к квадрату разности или квадрату суммы, то мы помним, что наши выражения в квадрате должны быть положительными, а у нас отрицательные. Значит, вместе с этим мы ещё вынесем и минус. Минус $2a$ выносим за скобки, и в скобках остаётся вот такое выражение.

Применение формулы квадрата разности

Внимательно посмотрев на него, вы можете увидеть здесь формулу сокращённого умножения, а именно: квадрат разности двух выражений. Первое выражение в квадрате минус удвоенное произведение первого на второе плюс второе выражение в квадрате. То есть наше с вами выражение будет выглядеть следующим образом: $-2a(a - 5b)^2$. Свернули просто формулу, вот эту разность квадратов.

Обратите внимание, что опять-таки в этом примере, в этом выражении мы начали с вынесения общего множителя за скобки. Это общее правило. Нужно посмотреть, нет ли такой возможности вынести общий множитель за скобки. Если нет, то тогда пользоваться уже другими приемами. Об этом мы поговорим чуть позже.

Разложение выражения $y^8 - 1$

Следующее выражение, вот посмотрите: $5y^8 - 1$. Ну, естественно, здесь нет никакого такого общего множителя, ничего мы вынести за скобки не можем. Значит, смотрим: группировать у нас всего лишь двух членов, группировать нечего, он уже сгруппирован. Тогда, значит, смотрим, нет ли здесь формулы сокращённого умножения.

Расчудесная единица, которая во всех степенях будет единицей, — на неё мы обратим своё внимание. То есть $y^8 - 1$, и мы можем тоже представить хоть восьмую степень, хоть какую-нибудь нам потребуется в данном примере. Мы видим, что восьмая степень, показатель равен 8, это значит $y^4$ в квадрате. То есть можно в этом выражении увидеть формулу сокращённого умножения — разность квадратов. Она предстанет перед нами вот в таком виде: $(y^4 - 1)(y^4 + 1)$ — разность выражений на их сумму.

Дальше внимательно начинаем смотреть. Смотрим на первую скобку и видим опять разность квадратов, которую тоже можно разложить. Только уже $y^2 - 1$ и $y^2 + 1$. А вторую скобочку, вот здесь, сумму, двучлен суммы, мы её просто перепишем. Если посмотреть внимательно на первую скобку данного выражения, то мы видим, что её ещё можно разложить как разность квадратов. Делаем это ещё раз.

Внимательно посмотрим на получившееся выражение. Мы увидим, что у нас в трёх скобках стоит сумма и в одной скобке стоит разность, которой уже невозможно применить формулу разности квадратов. Вот такое получилось разложение. Это итог. Мы здесь не видим ни формул сокращённого умножения, ни выноса общего множителя за скобки. Ну и всё уже довольно-таки сгруппировано и представляется в виде произведения. То есть многочлен $y^8 - 1$ разложен на 4 множителя.

Вынесение общего множителя и разность квадратов

Следующее возьмем с вами выражение. Вот такое. Прежде чем к нему подступиться, мы должны помнить, что первое, что мы можем сделать, — это вынести общий множитель за скобки. И он здесь присутствует, и мы постараемся это сейчас сделать. Вынесем с вами $0,3$, так как $0,30$ делится и на $0,33$, и $2,7$ тоже делится на $0,3$. Кстати, получится целое число.

Буквенная часть $y$ присутствует и в первом одночлене, и во втором одночлене. Соответственно, мы выносим его в наименьшей степени. Вынесем $0,3y^2$. В скобках останется $1 - 9y^4$. Мы видим, что здесь спряталась формула вот в этой скобочке. Думаю, вы уже догадались — разность квадратов. Разложим её. Далее смотрим: первая скобка, которая представляет из себя разность, — к ней уже невозможно применить формулу разности квадратов, так как у нас коэффициент получился 3, и мы пока не умеем, с вами ничего здесь сделать не можем.

Работа с выражением $16m^2 - (m - n)^2$

Следующий пример вот такой. Значит, $16m^2$ минус квадрат разности $m$ и $n$. Конечно, можно раскрыть квадрат разности. Замечательно, получится. Но никаких множителей при таком раскрытии вы не получите. Можете проверить это опытным путём. Поэтому замечаем здесь другое. Здесь тоже разность квадратов.

Первое выражение $16m^2$ — это $(4m)^2$, и всё это в квадрате. И второе выражение — $(m - n)$, и всё это в квадрате. Составим разность двух выражений и умножим на сумму двух выражений. Получится вот такое выражение. Всё было бы неплохо, но только внутри скобок мы должны заметить подобные слагаемые: $4m$ и $m$. Раскроем внутри каждой из больших скобочек маленькую скобку. Положим вот такие два выражения, подобные слагаемые. Приведём подобные слагаемые и получим вот такое выражение.

Применение формулы квадрата разности к трёхчлену

Следующее выражение разберем с вами. Вот такое. Из 16-ти вычесть... И вот такой вот вычесть трёхчлен. Думаю, вы уже догадались, что в этой скобке стоит не просто трёхчлен, а трёхчлен, к которому можно применить формулу сокращённого умножения, а именно квадрат разности. Свернём эту скобку по формуле квадрата разности.

Свернули. Получили выражение, очень похожее на предыдущее, потому что 16 — это $4^2$. И ещё у нас квадрат выражения $(x - y)$. То есть это разность квадратов. Разложим по формуле. Внутри скобок обязательно соблюдаем скобки, потому что первое выражение минус второе выражение. Вот этот минус перед скобкой будет менять вам знак у $x$ и $y$. Наведем в скобке порядок. То есть раскроем маленькие скобочки внутри больших скобочек. Получим вот такое выражение. Видим, что в этих двух выражениях нет подобных слагаемых. Значит, это окончательный результат, и оставляем его.

Следующее выражение. Посмотрите, какое интересное выражение. Абсолютно ни на что не похоже. Тут у нас есть $r^2, s^2$.

Анализ первого выражения

Видим, что в этих двух выражениях нет подобных слагаемых. Значит, это окончательный результат, и оставляем его.

Следующее выражение. Посмотрите, какое интересное выражение. Абсолютно ни на что не похоже. Тут у нас есть $r^2, s^2$. Конечно, можно сгруппировать $r^2$ и $s^2$ и разложить по формуле разности квадратов. Но беда в том, что у нас двух таких слагаемых $r$ отсутствует, поэтому этот способ не подходит.

Мы смотрим: $r$ — одиночка, и оставим её в одиночестве. Сгруппируем с вами второе, третье и четвертое слагаемые. Но сгруппируем не просто так. Вынесем ещё... у всех у них есть минус. И если есть такая возможность, мы вынесем этот минус за скобки.

Посмотрите внимательно на то, что осталось в скобке. Думаю, что вы уже догадались, что это квадрат суммы двух выражений. Свернули его по формуле. И, как и в предыдущем примере, теперь мы можем увидеть разность квадратов: первое выражение $r$, второе выражение $s + 5$. Разложим по формуле разности квадратов. Раскладываем.

Все хорошо, плохо только одно, что у нас внутри скобок есть скобки. Мы должны их раскрыть и проверить на подобные слагаемые. Раскрываем и видим, что подобных слагаемых здесь нет. Это окончательное разложение данного многочлена на множители. Всего два множителя получилось.

Разложение сложного выражения через вынесение общего множителя

Следующее выражение, на которое мы с вами посмотрим вначале, оно прямо кажется вот таким страшным. Специально я вам выписала сразу решение этого выражения. Что нужно сделать? Мы замечаем, что у нас везде присутствует $(1 - a)^2$. Смотрите: и здесь $(1 - a)^2$, и тут $(1 - a)$. Вынесем за скобки.

От первого одночлена останется 1. Помните, что вынесение общего множителя за скобки — это деление на этот множитель. И если выражение разделить само на себя, то получится 1. Вот она. От второго одночлена у нас с вами останется $-4a$. А $(1 - a)^2$ уйдет за скобки. От третьего выражения останется $4a^2$, а $(1 - a)^2$ уйдет за скобки.

Внимательно посмотрите на вторую скобку, и вы увидите здесь квадрат разности двух выражений. Свернем его по формуле. Возникает вопрос: а можно ли сделать что-то еще? Ну, можно расписать $(1 - a) \cdot (1 - a)$ и $(1 - 2a) \cdot (1 - 2a)$. Можно это расписывать. На самом деле здесь еще больше делать не нужно, потому что наше выражение представлено в виде множителей. Мы его разложили на множители. Дальнейшие вещи совершенно не нужны. Если они будут нужны вам для решения каких-то других... Вы еще подумайте, что здесь можно сделать, как здесь можно разложить.

Работа с неполным квадратом суммы

Ну и теперь посмотрим с вами вот еще одно такое вот, казалось бы, очень сложное выражение. Но если вы внимательно на него посмотрите, очень-очень внимательно, то вы увидите, что первые два одночлена образуют разность кубов. А третий, четвертый и пятый одночлены образуют... Вроде бы, казалось бы, квадрат суммы. Но не хватает вот здесь у нас удвоенного произведения. Здесь просто произведение.

Давайте разложим. Сгруппируем, прошу прощения. Вот мы сгруппировали. Вот она, разность кубов. И вот это какое-то выражение. На квадрат суммы оно не тянет. Потому что если это квадрат суммы, то здесь должно стоять $4CD$. 4, потому что $2C$, умноженное на $2$ и умноженное на $D$ — это удвоенное произведение. А здесь неудвоенное произведение, здесь просто произведение.

Если внимательно подумать, то вы увидите, что это неполный квадрат суммы, потому что здесь не удвоенное произведение, а просто произведение первого множителя на второе. А где у нас есть неполный квадрат суммы? А спрятался он в первой скобке, вот здесь. Поэтому разложим с вами по формуле сокращенного умножения разность кубов. Получим следующее выражение: $2c - d$ — это разность этих выражений, умноженная на неполный квадрат суммы.

У нас в формуле неполный квадрат суммы, и у нас второе слагаемое также представляет из себя неполный квадрат суммы. А значит, мы можем вынести его за скобку. Вынесли неполный квадрат суммы за скобку. Вот оно на первом месте у нас стоит. Естественно, от второго слагаемого, то есть вот от этого, осталась единичка. Если вы внимательно посмотрите, то увидите, что здесь, к сожалению, нет никаких подобных слагаемых. На этом разложение закончилось. Да, ответ получился некрасивый, неказистый, но разложения окончены, потому что ни в первой, ни во второй скобке нет подобных слагаемых.

Искусственное приведение к полному квадрату

Возьмемся с вами за новый метод. Этот метод абсолютно искусственный, то есть мы должны подумать, что-то сделать и искусственно привести к формуле сокращенного умножения, а именно к полному квадрату двучлена. У нас дан трехчлен $x^2 - 10x + 24$.

Если мы внимательно посмотрим, то мы увидим, что наш трехчлен очень похож на квадрат двучлена, то есть на квадрат разности он похож. Что здесь? Здесь вот, что нам мешает. То есть это как бы первое выражение в квадрате минус удвоенное произведение первого на второй, и вот это 24 — это должен быть квадрат второго выражения. Пока 24 на квадрат второго выражения не тянет.

Давайте подумаем, что можно сделать. Представим с вами $x^2$ как квадрат первого. Дальше — минус удвоенное произведение. Специально вам расписываю: минус 2, умноженное на 5, было 10. У нас с вами в начале, вспоминайте, коэффициент здесь был 10, на этом месте стояли 2 и 5. 2 умножить на 5, умножить на $x$. То есть второе выражение — это пятерка.

Искусственный прием выделения полного квадрата

Представим с вами $x$ в квадрате, квадрат первого. Дальше — минус удвоенное произведение. Специально вам расписываю: минус 2, умноженное на 5, было 10. У нас с вами в начале, вспоминайте, коэффициент здесь был 10, на этом месте стояли 2 и 5. 2 умножить на 5, умножить на $x$. То есть второе выражение — это пятёрка.

И нам нужно из этой пятёрки, из 24, каким-то образом вытащить квадрат пятёрки. А квадрат пятёрки — это 25. Ну, тогда я 24 представляю как 25 минус единица. Могу? Могут. Ведь 25 минус единицы — это 24, так что всё нормально, я ничего не меняю. Представили? Вот это и есть искусственный приём.

Что дальше? А дальше нам нужно этот квадрат двучлена каким-то образом свернуть. Давайте посмотрим так: 25 в квадрате, первое выражение в квадрате, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс второе выражение в квадрате и минус 1. Почему минус единица? Потому что мы-то взяли 25, а в исходном выражении у нас было на этом месте 24, поэтому мы компенсируем минус единичкой. 25 минус один получится 24.

И вот это выражение — это и есть квадрат разности двух выражений. Сворачиваем его. Получаем вот что: квадрат разности минус 1. А единица — это у нас замечательное число, которое в любой степени будет единицей. И мы здесь можем увидеть, что это у вас, друзья, разность квадратов, потому что 1 — это 1 в квадрате. Разложим эту разность квадратов: разность выражений минус их сумма. Первое выражение — $(x-5)$, второе выражение — 1. Есть подобные слагаемые. Приведём их. Получим $(x-6)$, умноженное на $(x-4)$. Вот таким вот образом это происходит.

Значит, для выделения — вернусь назад — для выделения полного квадрата двучлена мы должны найти первое выражение в квадрате, представить удвоенное произведение первого выражения на второе и догадаться, каким должен быть квадрат второго выражения. И из предложенного числа или предложенного выражения сделать то, что нам нужно. А именно: мы с вами 24 представили как 25 минус 1. Выделить этот полный квадрат, то есть вот таким вот образом, и свернуть его в формулу. А дальше уже смотреть, что у нас получилось. В данном случае у нас получилась разность квадратов, и мы легко с ней справились. Значит, метод выделения полного квадрата двучлена — это искусственный метод разложения на множители. Но очень часто этот искусственный метод может вам помочь.

Метод представления слагаемого в виде суммы

Ещё один метод, тоже искусственный. Он очень похож на метод выделения полного квадрата двучлена. Но здесь мы одно из слагаемых можем представить в виде суммы. Дан трёхчлен $A^2 + 7A + 10$. Если мы попробуем к этому трёхчлену применить предыдущий метод, то мы прекрасно увидим, что вот это — квадрат первого выражения, а вот это должно якобы быть удвоенным произведением первого выражения на второй, а вот это будет типа квадрата второго выражения.

Но вы видите коэффициент 7. И вы прекрасно понимаете, что если это удвоенное произведение, то здесь должно быть 2 умножить на 3,5. И значит, здесь мы должны делать 3,5 в квадрате. А это, естественно, крайне неудобно совершенно. То есть здесь будут дроби. А в дробь мы, конечно, залазить с вами не будем, потому что дробные коэффициенты, дробные числа ведут обязательно к какой-то ошибке.

Поэтому здесь проще сделать иначе. Мы возьмём $7a$, так как это среднее такое выражение. Здесь есть и коэффициент числовой, и буквенная часть. Вот она, буквенная часть повторяется, и здесь числа повторяются. Значит, мы можем с вами представить $7a$ в виде суммы слагаемых. Давайте подумаем, в виде суммы каких слагаемых. Мы замечаем, что 10 — смотрим на десятку — 10 это дважды 5. И при этом 7 — это 2 плюс 5. То есть вот такую мы увидели закономерность в этих числовых коэффициентах.

Что же мы с вами сделаем? Если мы семерку представим в виде суммы 2 и 5, то, естественно, очень легко будет её скомпоновать с десяткой, то есть сгруппировать пятёрку с десяткой и вывести общий множитель за скобку. Представим с вами $7a$ как сумму $2a$ и $5a$. Представили. Дальше, так как это сумма, скобки здесь можно убрать, перегруппируем наши слагаемые вот в таком виде. Перегруппировали.

Далее, естественно, уже знакомый вам приём. После группировки нужно вынести общий множитель за скобку, и выносим. Здесь легко. Вынесли общий множитель за скобки и увидели, что $(a + 2)$ является общим множителем внутри этих двух слагаемых. Выносим $(a + 2)$ за скобки, остается $(a + 3)$. То есть наш трёхчлен вот таким вот образом можно разложить на множители.

Ещё один метод, искусственный метод разложения трёхчлена на множители — это представление одного из слагаемых в виде суммы. Постарайтесь подобрать такие слагаемые, такую сумму сделать, чтобы было возможно вынесение общего множителя за скобки. Как вот здесь 5 и 10: мы сразу видим, что 5 может вынести за скобки. Зачастую $7a$, например, вот этот средний член, его представляют не в виде суммы, а в виде разности, с разными знаками, с плюсом, минусом. Вы подбираете таким образом, чтобы можно было с первым одночленом и с третьим одночленом сгруппировать и вынести за скобки. Для каждого примера здесь у вас будут абсолютно разные способы. То есть к каждому слагаемому, каждому выражению нужно подобрать свой единственный верный ключик. Я вам желаю в этом успехов!

Метод группировки слагаемых

Вы подбираете знаки — с плюсом или с минусом — таким образом, чтобы можно было сгруппировать первый одночлен с третьим и вынести их за скобки.

Для каждого примера здесь у вас будут абсолютно разные способы. То есть к каждому слагаемому, к каждому выражению нужно подобрать свой единственный верный ключик. Я вам желаю в этом успехов!

Домашнее задание

Домашнее задание будет выложено в электронном дневнике.