Математика — 6 класс — Раскрытие скобок

Инструкция к работе с видео

Добрый день, ребята! Сегодня попробуем поработать с вами с помощью видеофайла. Я заранее подготовила задание на интерактивной доске. В случае, если вам не хватает времени, вы в любой момент можете нажать в данном видео на кнопочку паузы, после чего вернуться к уроку, нажав кнопку play.

Для начала урока вспомним немножко о вычислительных навыках. В этом нам помогут свойства умножения, которые мы изучили на предыдущих уроках.

Решение первого примера

Первое задание: умножить −8 на 37 на 5. Вы можете выполнить задание самостоятельно, поставив на паузу. И если вы всё сделали и хотите увидеть результаты, то видео можно прокрутить. Я же сейчас буду решать постепенно каждый из примеров с подробным объяснением. Если вам это нужно, смотрите видео от начала до конца, не останавливая.

В первом примере −8 ⋅ 37 ⋅ 5 удобнее сделать, применив переместительное свойство умножения. Я поменяю местами множители 37 и 5, и таким образом получу более простой пример: −8 ⋅ 5 ⋅ 37. Произведя первое умножение −8 на 5, я получу −40.

Хотела обратить ваше внимание, что мы занимаемся умножением рациональных чисел. Поэтому, как и прежде, в первую очередь мы определяем знак результата. В данном произведении нечётное количество отрицательных знаков, он один. Значит, результат будет отрицательный, о чём не забываем писать после каждого знака равенства. Остаётся −40 ⋅ 37. Это умножение можно сделать в уме. Отрицательный знак — минус. В первую очередь 0 в конце умножения я записываю сразу. Теперь 4 ⋅ 7 — 28, 8 пишу, 2 умножаем. 4 ⋅ 3 — 12 и 2, 14. Ответ: −1480.

Решение второго примера

Переходим ко второму примеру. Мы знаем, что очень удобно умножить 25 на 4. Здесь есть множители похожие: −25 и −0,4. Как и в предыдущем примере, в первую очередь определяем знак результата. Нечётное количество отрицательных знаков даст отрицательный результат, чётное количество даст положительный результат. Значит, результат в данном случае при двух минусах будет положительным.

Меняю местами множители −2,5 и −0,4, используя переместительное свойство умножения. Получаю пример: −2,5 ⋅ −0,4 ⋅ 23. Умножение десятичных дробей: мы умножаем, не обращая внимания на запятую, то есть 25 на 4 — это 100. В ответе отделяем столько знаков после запятой, сколько их стоит в обоих множителях, то есть один знак. Значит, результат умножения −2,5 на −0,4 — это 1,0. Результат умножения 1 на 23 — это 23. Такой ответ и запишем.

Использование сочетательного свойства

Следующий пример. Мы видим, что здесь можно использовать сочетательное свойство умножения. Сочетательное свойство умножения позволяет нам производить умножение удобных множителей, произведения которых сосчитать легко. Опять знакомые числа: 25 и 4, 125 и 8. Понятно, что это не совсем такие числа, а числа, имеющие десятичные знаки после запятой.

В первую очередь определяем знак результата. Данный результат будет отрицательным, так как нечётное количество отрицательных знаков. Умножаем по правилам умножения десятичных дробей. 125 на 8 — 1000, не обращая внимания на запятую. В ответе мы должны отделить столько знаков после запятой, сколько их стоит в обоих множителях, то есть 3 знака после запятой. Результат умножения будет равен 1,000.

Затем 0,25 умножить на 4. Умножаем, не обращая внимания на запятую: 25 на 4 — 100. Отделяем 2 знака, получаем 1. Результат — минус 1 на 1, то есть минус один.

Работа с большими и малыми десятичными дробями

Следующий пример: −8,47 ⋅ 5 ⋅ (−10) ⋅ (−0,001). Наверное, удобнее всего перемножить числа 5 и −200. Это знакомые нам числовые значения. Но опять-таки в первую очередь мы определяем знак результата. Количество отрицательных знаков нечётное, значит, результат будет отрицательный. Сочетая произведение 5 и −200, я получу 1000 (так как минус мы уже учли).

Далее очень удобно умножить результат данного выражения на 0,001, потому что произведение этих величин будет равно 1. Таким образом, сочетая в дальнейшем произведения тысячи и 0,001, мы опять упрощаем пример. В результате получаем −8,44.

Применение рационального метода счёта

Последний пример. Начинаем с определения знака результата. Результат будет отрицательным, так как здесь нечётное количество отрицательных знаков. Сразу записываем минус. Понятно, что при умножении нам необходимо каждое из выражений привести к виду, с которым удобно работать.

Третье число в записи представляет собой смешанное. Если я данное выражение запишу в виде неправильной дроби, то, наверное, вы сразу же увидите, что здесь можно использовать рациональный метод счёта. 5/9 ⋅ 3 1/14 ⋅ 2. 3 1/14 — это 43/14. И на 2. Числа 5/9 и 45/14 (если привести к виду 45/14) — это не совсем то, но если мы возьмем 5/9 и 9/5, то они являются взаимно обратными. То есть их произведение равно одному.

Конечно, для того чтобы перемножить эти числа, нам придётся применить переместительное свойство умножения и поменять местами числа 3,14 и 9,5. Будем опускать это, так как данная процедура слишком проста для того, чтобы лишний раз её записывать. Итак, перед результатом ставлю знак минус. 5/9 на 9/5 даёт 1. Остаётся умножить 3 1/14 на 28. Мы с вами много раз говорили о том, что очень легко умножить натуральное число на дробь. Для этого достаточно это число разделить на знаменатель и умножать на числитель. 28 разделить на 14 будет 2. Умножить на 3 будет 6.

Идём дальше. Упростить выражение и подчеркнуть его коэффициент.

Принцип умножения на дробь

Мы с вами много раз говорили о том, что очень легко умножить натуральное число на дробь. Для этого достаточно это число разделить на знаменатель и умножить на числитель. Например, 28 разделить на 14 будет 2. Умножить на 3 будет 6.

Решение первого задания

Упростить выражение и подчеркнуть его коэффициент. Я повторюсь, что вы можете поставить видео на паузу, выполнить задание самостоятельно, после чего проверить правильность решения. Начинаем, как всегда, с определения знака результата. В первом задании этот результат будет отрицательным, так как здесь нечётное количество отрицательных знаков.

Остаётся перемножить числовые коэффициенты 2,3 на 4, после чего дописать переменную, присутствующую в произведении. Грубо говоря, мы с вами занимаемся тем же самым умножением, просто одно из чисел у нас представляет собой переменную. 2,3 умножить на 4 будет 9,2. Переменная $c$ как множитель остаётся неизменной.

Выполнила ли я задание? Читаю ещё раз. Задание: «Упростить выражение и подчеркнуть его коэффициент». Выражение упрощено. Дальше с ним ничего сделать нельзя, так как мы не знаем значение переменной $c$. Какой же коэффициент в этом выражении? Коэффициент или числовой коэффициент — это то самое число, которое стоит множителем перед переменной. В данном случае перед переменной стоит множитель $-9,2$. Подчеркивая этот коэффициент, я не забываю подчеркнуть знак минус. Задание выполнено.

Работа с переместительным свойством

Следующее. Для того чтобы упростить это выражение, мне придётся применить переместительное свойство умножения: поменять местами переменную $b$ и число $-0,6$. В любом случае в первую очередь я определю знак результата. Так как в данном выражении чётное количество отрицательных знаков (их два), результат будет положительным.

Значит, мне останется умножить 0,9 на 0,5. При умножении десятичных дробей я умножаю, не обращая внимания на запятую: 6 и 9 — 54. В ответе отделяю столько знаков, сколько их стоит в обоих множителях. В первом один знак, и во втором всего два знака — получается $0,54b$. Задание до конца не выполнено, так как я не подчеркнула числовой коэффициент. В данном случае это число 0,04.

Следующий пример. Мы видим здесь четыре множителя: $-5$, $a$, $3,6$ и $b$. Необходимо применить переместительное свойство умножения, поменяв местами переменную $a$ и $3,6$, для того чтобы числа стояли рядом. Теперь определяем знак результата. Он будет отрицательным, так как здесь нечётное количество отрицательных знаков. 5 умножить на 3,6 будет 18. Переменные $a$ и $b$ записываются в выражении в алфавитном порядке. Коэффициент, присутствующий в данном выражении, будет равен $-18$.

Умножение нескольких множителей

Следующее задание: $-8$, умноженное на $x$, на $-0,5$, умноженное на $y$, на $0,6$, умноженное на $n$. Как вы думаете, сколько здесь множителей? Если вы считаете, что шесть, ваш ответ правильный. Для того чтобы упростить это выражение, необходимо перемножить числовые коэффициенты, записав следом буквенную часть в алфавитном порядке.

Для этого в первую очередь я определяю знак результата. Он будет положительным, так как в данном выражении чётное количество отрицательных знаков, их два. Следовательно, после знака равно отрицательный знак я не пишу. Теперь перемножаю числовые коэффициенты. При умножении 8 на 0,5 я получаю 4. 4 на 0 целых 6 десятых — 2 целых 4 десятых. Переменные необходимо записать в алфавитном порядке, поэтому на первом месте будет стоять переменная $m$, а потом уже $x$ и $y$. Осталось подчеркнуть числовой коэффициент. Он равен 2,4.

Умножение дробей и сокращение

Следующий пример. В данном примере присутствуют четыре множителя. Числовые коэффициенты: $-8$, $21$ и $7,24$. Поэтому нам придется применить переместительное свойство умножения. $7,24$ удобнее умножить на $8,21$, но предварительно мы определяем знак результата. Он будет положительным, так как здесь чётное количество отрицательных знаков.

При умножении $8,21$ на $7,24$ я использую правило умножения дробей: в произведении двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. После чего записываю переменные в алфавитном порядке: сначала $m$, потом $z$. Понятно, что в данном произведении можно произвести сокращение дробей. 8 и 24 — и то, и другое число делится на 8. Значит, при делении 8 на 8 будет 1, при делении 24 на 8 будет 3. И 7 и 21 — числа, которые без остатка делятся на 7. Значит, эту дробь можно сократить ещё и на 7: 7 разделить на 7 будет 1.

Переменные $m$ и $z$ не забываем записать в окончании данного выражения. Остается перемножить числители и знаменатели и получить правильный ответ: $1 \frac{1}{9} mz$. Хочу обратить ваше внимание на то, что всё, что записано после дроби, может быть также записано и в её числитель. То есть ответом могло быть выражение $mz$, делённое на 9. И тут и другой ответ правильный. Но во втором случае мне сложно будет подчеркнуть числовой коэффициент, поэтому оставить в данном задании следовало ответ $1,9 mz$.

Приведение к неправильной дроби

Последний пример. Умножение $2,27m$ на $-21,64n$. Понятно, что при умножении смешанных чисел мы должны их привести к виду неправильной дроби. Но в первую очередь определяем знак результата. Так как количество отрицательных знаков в данном произведении нечётное (он только один), то знак результата будет отрицательный.

$2,27$ в виде неправильной дроби — это $\frac{16}{7}$. Применяя переместительное свойство умножения, на втором месте я записываю число $21,64$, после чего — переменные в алфавитном порядке, то есть $m, n$. При умножении дробей я использую правило:

Вычисления с дробями и переменными

Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Не забываю записать переменные $m$ и $n$.

Я произведу эти вычисления. 8 на 16 и 64 — и то, и другое делится на 16. В числителе 1, в знаменателе 4. И 7 и 21 делятся на 7. В числителе 3, в знаменателе 1. Таким образом получаю дробь: минус 3/4 $mn$.

Мы с вами знаем, что числовое значение минус 3/4 приводится к виду десятичной дроби. Значит, таким ответ оставлять неправильно. Минус 3/4 — это минус 0,75, переменные $m$ и $n$. Всё, что остается сделать, — подчеркнуть числовой коэффициент: минус 0 целых 75 сотых. Надеюсь, работая раньше меня, вы выполнили эти задания правильно.

Алгоритм упрощения алгебраических выражений

Переходим дальше. Упростить выражение и найти его значение, если известно значение переменных. Заданий в этом номере два. Необходимо упростить выражение и найти его значение.

Я уже много раз вам говорила, ребята, что даже если отсутствует задание «упростить» выражения, но данное задание является алгебраическим — то есть произведение чисел, переменных, сумма, разность, возведение в степень, — то в первую очередь нужно убедиться, что его нельзя упростить, и только после этого подставлять значение переменных. В данном задании для вас дана подсказка, что сначала его нужно упростить.

Переписываем выражение и думаем, каким образом можно упростить значение данного выражения. Я думаю, что вы уже ответили на этот вопрос: нам поможет переместительное свойство умножения. Мы меняем местами множители в выражении для того, чтобы удобно было вычислить произведение.

Но в первую очередь определяем знак результата. Так как количество отрицательных знаков в данном произведении нечётное, значит, результат будет отрицательным. Умножаем 125 на 8, не обращая внимания на запятую. Это 1000. В ответе отделяем ровно один знак после запятой. Получаем число 100. Значения переменных $x$ и $y$ записываем в конце выражения. Выражение упрощено.

Нахождение значения выражения при заданных переменных

Нам необходимо найти его значение при известных значениях переменных. Значит, оформляем решение задания следующим образом. Если $x = -1,124$, $y = -3,3$, то выражение будет равно: $-100 \cdot (-1 \frac{1}{24}) \cdot (-3 \frac{3}{5})$.

Кроме целого числа $-100$, мы видим смешанные числа. Понятно, что нам необходимо будет их привести к виду неправильной дроби. Но опять-таки в первую очередь мы определяем знак результата. Количество отрицательных знаков нечётное, их три. Следовательно, результат будет отрицательный.

Число 100 представляет собой дробь 100/1. В числителе 100, в знаменателе множитель 1, который я могу не писать. Число $-1,124$ — это $-25/24$. Число $-3,3$ — это $-18/5$. Выражение записано. Остаётся привести его к красивому виду.

Данную дробь можно сократить. Я вижу, что и 100, и 5 делятся на 5. Вместо числа 100, не забыв поставить знак минус перед дробью, я записываю 20, в знаменателе вместо пятёрки — единичка. 18 и 24 — и то, и другое число делится без остатка на 6. 24 на 6 будет 4, 18 на 6 будет 3. У меня остался ещё множитель 25.

Я вижу, что дробь опять-таки сократилась. И 24 делится на 4. Не забываю записать знак минус перед дробью. 20 разделить на 4 будет 5, 4 разделить на 4 — 1. Далее дроби несократимы, так как в знаменателе остались только множители 1. Следовательно, мне необходимо перемножить числа, стоящие в числителе. Поставим 25 перед произведением знака минус. 25 умножить на 5 будет 125. 125 умножить на 3 — 375.

Ответов в этом задании будет два. Так как нам необходимо было упростить выражение и найти его значение, то ответ в задании выглядит следующим образом: $-100xy; -375$. Задание выполнено.

Правила раскрытия скобок

Следующее задание. Правила раскрытия скобок. В первую очередь сформулируем эти правила.

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки просто опускаются. Что значит «опускаются»? Значит, я их не пишу или стираю ластиком. Перед скобками, которые записаны первыми, стоит знак плюс. Я его не вижу, но на самом деле, если знака нет, значит, он положительный.

Второе правило раскрытия скобок говорит о том, как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус. Если перед скобкой стоит знак «минус», то каждое слагаемое в скобке при раскрытии меняет свой знак на противоположный. Я вас очень прошу проговаривать эти слова: было 7, станет минус 7; было $-m$, станет плюс $m$. Каждое слагаемое поменяло свой знак на противоположный.

Работая с правилами сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел, мы с вами говорили о том, что здесь тоже можно использовать переместительное свойство умножения для того, чтобы записать ответ в красивом виде. На первое место я запишу слагаемые, имеющие положительный знак: $+m$, и плюс могу опустить, а дальше — $-7$. Этот ответ также будет правильным, как и предыдущий.

В следующем примере перед скобками стоит знак, правильно, минус. Значит, при раскрытии скобок знаки каждого слагаемого поменяются на противоположные. Было $-9$, станет плюс 9, или просто 9.

Раскрытие скобок с отрицательным знаком

А дальше — минус 7. Этот ответ также будет правильным, как и предыдущий. В следующем примере перед скобками стоит знак, правильно, минус. Значит, при раскрытии скобок знаки каждого слагаемого поменяются на противоположные. Было минус 9, станет плюс 9 или просто 9. Было плюс k, станет минус k. Скобки раскрыты, задание выполнено.

В следующем примере перед скобками стоит знак. Совершенно верно, плюс, его нет, значит, это положительный знак. Следовательно, скобки можно просто опустить. Было 4 плюс p, так и останется 4 плюс p.

Распределительное свойство умножения

А теперь задания несколько более сложные, те, которые мы выполняли с вами на последнем уроке. Применение распределительного свойства умножения при умножении рациональных чисел на сумму или разность. Это задание несколько сложнее.

Мы распределяем множитель минус 2 между слагаемыми, стоящими в скобках. Мы с вами рисовали «дельфинчики» или «фонтанчики», как вам удобнее это назвать. Но не забываем, что каждый из слагаемых мы умножаем на минус 2, то есть на то выражение, которое стоит перед скобкой. Сначала я минус 2 умножаю на c, затем я минус 2 умножу на плюс 4. Знак плюс можно не писать.

Остаётся упростить выражение. Минус 2, умноженное на c — это минус 2c. Минус 2, умноженное на 4, будет минус 8. Ответ — минус 2c минус 8. Даже если я поменяю местами слагаемые, всё равно перед каждым из них стоит знак минус. Проще и красивее он не станет.

Следующий пример. Множитель 3, стоящий перед скобками, заставляет нас умножить каждое слагаемое на это число. Сначала я 3 умножаю на 2. Перед тройкой не стоит никакого знака, значит, это знак плюс. Затем я это число 3 или плюс 3 умножаю на плюс k, или просто на k. 2 умножить на 3 — это 6, 3 на k — это 3k. Задание выполнено.

Подобные слагаемые и их приведение

Следующее задание. Попробуем раскрыть скобки в выражениях, в которых необходимо использовать, помимо всего прочего, ещё и приведение подобных слагаемых. Давайте, прежде чем его выполнять, вспомним, какие слагаемые называются подобными и как можно их приводить.

Слагаемые, записанные на доске в первом выражении, являются подобными все. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Напомню, что, работая с такими выражениями, мы с вами одинаковые подобные слагаемые подчеркивали одинаковыми черточками. В данном случае все слагаемые являются подобными.

Чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения. У первого слагаемого коэффициент равен 7. У второго — плюс 9, у третьего — плюс 28, у четвертого — минус 2. Буквенную часть оставляю без изменения. Пример из математики 6 класса, решить его несложно. 7, 19, 28. Как вам удобно, так и складывайте эти числа, потому что, в принципе, ничего рационального здесь не придумаешь. 7 и 9 — 16, 16 и 28 — 44, минус 2 — 42. Множитель a как переменная остаётся множителем в ответе.

Следующий пример. Мы складываем выражения, каждое из которых содержит переменную x. Значит, эти слагаемые подобны, у них одинаковая буквенная часть. Чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения. У первого слагаемого числовой коэффициент минус 8, у второго — плюс 16, у третьего — минус 23 и у последнего — плюс 17. Буквенная часть остаётся без изменения — x.

Так как в этом выражении нет противоположных, то, наверное, удобнее сложить отдельно положительные и отдельно отрицательные. Минус 8 и минус 23 будет минус 31. 16 и 17 — 33. 33 минус 31 будет 2. Ответ — 2x.

Работа с разными переменными

В следующем выражении у меня есть слагаемые с одинаковой буквенной частью, но буквенная часть в этом выражении есть разная: m и n. Значит, между собой будут подобные выражения 2,7m и 3,5m, а также минус n и минус 2,7m. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их числовые коэффициенты. С вашего позволения я это сделаю устно.

2,7 и 3,5 будет 6,2m. Минус n и минус 2,7 — задаю вопрос: какой коэффициент стоит у выражения минус n? Отвечаю: коэффициент у выражения минус n равен минус 1. Мы складываем числовые коэффициенты: минус один и минус 2,7, получаем минус 3,7. Буквенная часть остаётся без изменения.

В следующем задании подобными являются выражения 2,9c и минус 5,2c, а также 1,8 и минус 1,2. При сложении первых коэффициентов 2,9 и минус 5,2 мы получим минус 2,3c. 1,8 минус 1,2 — 0,6. Данное выражение можно записать более красиво, записав первым положительное число 0,6, а на втором месте — 2,3c с отрицательным знаком.

В последнем примере несколько больше подобных слагаемых. Это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть p: 2,6p и минус 3,1p. Выражение, имеющее буквенную часть k, — это минус 0,7k и 2,8k. Как видим, есть ещё выражение, не содержащее переменную, его нельзя потерять.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их числовые коэффициенты. 2,6p минус 3,1p будет минус 0,5p. Минус 0,7k и плюс 2,8k — это 2,1k со знаком плюс. И остаётся 1,3. Я бы записала это число, это выражение. Поставим на первое место положительное выражение 2,1k, затем минус 0,5p и плюс 1,3. Это не значит, что предыдущий ответ неправильный, он тоже является правильным.

Разбор первого примера

Поскольку мы вспомнили, как приводить подобные слагаемые, мы можем выполнить предыдущее задание. Оно содержит сразу два правила: раскрытие скобок, перед которыми стоит либо знак плюс, либо знак минус, и приведение подобных слагаемых.

Перед первой скобкой ничего не стоит, значит, стоит знак плюс. Следовательно, я скобки просто опускаю. Получается 5,3 плюс $a$. Перед вторыми скобками стоит знак минус. Значит, при раскрытии скобок у каждого слагаемого знак меняется на противоположный. Было плюс $a$, станет минус $a$. Было плюс 6,4, станет минус 6,4.

Напомните мне, как называются числа $a$ и $-a$? Они называются противоположными. Сумма противоположных равна... Значит, $a$ минус $a$ будет равно 0. Остается из 5,3 вычесть 6,4. Результат — минус 1,1.

Разбор второго примера

В следующем примере перед первой скобкой стоит знак «минус». Значит, при раскрытии скобок каждое слагаемое поменяет свой знак на противоположный. Было 9,4, станет минус 9,4. Было минус $b$, станет плюс $b$.

Перед вторыми скобками стоит знак плюс. Значит, при раскрытии скобок мы их просто опускаем. Перед $b$ был знак минус, значит, он так и останется. Перед 3,7 плюс... Мы опять видим наличие противоположных выражений $b$ и $-b$. Сумма противоположных равна 0. Остается вычислить значение выражения: минус 9,4 плюс 3,7. Сумма этих чисел будет равна минус 5,7.

Разбор третьего примера

Переходим к следующему примеру. Перед первыми скобками стоит знак «минус». Ребята, если вы поняли, как решать эти задания, я напоминаю, что можно поставить видео на паузу, решить эти задания самим, после чего свериться с решением на доске.

Возвращаясь к примеру, перед первой скобкой стоит знак минус. Значит, при раскрытии скобок знаки каждого слагаемого поменяются на противоположные. Было $x$, станет минус $x$. Было минус 5,8, станет плюс 5,8. Было минус $y$, станет плюс $y$. Перед вторыми скобками тоже стоит знак минус. Значит, и здесь каждое слагаемое поменяет свой знак на противоположный. Было 11,3, станет минус 11,3. Было минус $x$, станет плюс $x$.

Мы видим здесь подобные, которые можем подчеркнуть одинаковыми черточками. И, приведя подобные слагаемые, получим упрощенное значение выражения. Минус $x$ и плюс $x$ — это противоположные, их сумма равна 0. У $y$ нет подобного слагаемого, значит, он... 5,8 минус 11,3 — это минус 5,5. Пример решен.

Разбор четвертого примера

Последнее задание. В первую очередь раскрываем скобки. Перед первыми скобками стоит знак минус, значит, при раскрытии каждое слагаемое меняет свой знак на противоположный. Было $a$, станет минус $a$. Было минус $b$, станет плюс $b$. Было минус 7,4, станет 7,4.

Перед вторыми скобками стоит знак плюс, значит, знаки выражения, стоящие в скобках, не изменятся. Минус 7,4 плюс $b$ плюс $a$. Опять видим противоположные: минус $a$ и $a$, плюс 7,4 и минус 7,4. Сумма этих и других будет равна 0. Остается к $b$ прибавить $b$. Это $2b$. Задание выполнено.

Работа с множителем перед скобками

Следующее задание еще более сложное: раскрыть скобки, перед которыми не только стоит какой-то знак, но еще и множитель. Первое произведение: 8 на $(6a - 7)$. Используя распределительное свойство умножения, или «фонтанчики», как мы с вами называли, мы 8 умножаем сначала на $6a$, затем эти же самые 8 умножаем на минус 7.

Я напоминаю, что знак, стоящий в скобках, относится к числу, перед которым он стоит. Минус $17a$, стоящие за скобками, мы переписываем. Упрощаем выражение. 8, умноженное на $6a$, — это $48a$. 8, умноженное на минус 7 — знак результата будет отрицательным. Произведение 8 на 7 — 56.

Мы видим, что в данном выражении опять появились подобные слагаемые: $48a$ минус $17a$. Сумма этих выражений будет равна $31a$. Остается вычесть 56. Задание решено.

Разбор хитрых выражений

Следующее выражение хитрое. И оставшиеся я подобрала ровно такие же, потому что именно в таких выражениях вы допускаете наибольшее количество ошибок. Выражение $6b$ я оставляю без изменения. А вот дальше мне нужно раскрыть скобки. Каждое выражение в скобках умножается на минус 7. Именно это число мы распределяем между слагаемыми в скобках.

Сначала я минус 7 умножаю на плюс 12, или просто на 12. Затем я минус 7 умножаю на минус $3b$. $6b$ остается без изменения. Минус 7 умножить на 12 — это минус 84. Минус 7 на минус $3b$ — это плюс $21b$. В выражении появились подобные слагаемые, которые несложно привести. Ответ: $27b - 84$.

В следующем выражении мне необходимо в первую очередь раскрыть скобки. Выражение $5a$ оставляю без изменения. Каждое из слагаемых в скобках я должна умножить на минус 4. Сначала я минус 4 умножаю на 3, затем я минус 4 умножаю на плюс $2a$, или просто $2a$.

Записываю получившееся выражение в стандартном виде: $5a$ минус 4 на 3, 12, минус $2a$, 8a. И вижу, что здесь есть подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью: $5a$ и минус $8a$. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения. Ответ: минус $3a$ минус 12. Можно было записать минус 12, минус $3a$. От этого правильность решения не изменилась бы.

Последнее задание. В первую очередь необходимо раскрыть скобки. Число 7.

Приведение подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения. Ответ: $-3a - 12$. Можно было записать $-12 - 3a$ — от этого правильность решения не изменилась бы.

Раскрытие скобок в выражении

Последнее задание. В первую очередь необходимо раскрыть скобки. Число 7 оставляю без изменения. А теперь $-5$ умножаю сначала на $9$, затем эти же самые $-5$ умножаю на $4x$. Выражение $7$ остается без изменений. $5$ и $9$ — это $45$, $5$ и $4$ — это $20$. Не забываю про знаки и элементы.

Появились подобные: $7 - 45$. Сумма этих чисел — $-38$. $-20x$ можно записать как $-20x$. Данный ответ также будет правильным.

Самостоятельное выполнение задания

Ну и, по-моему, осталось еще одно задание, если не ошибаюсь. Задание на раскрытие скобок, перед которыми стоит числовой коэффициент. Попробуйте выполнить его самостоятельно, поставив видео на паузу. А после этого включите и проверьте правильность выполнения данного задания. Если вы боитесь ошибиться, можете выполнять данное задание вместе со мной.

Итак, перед скобками стоит множитель $5$. Я использую распределительное свойство умножения. Сначала я $5$ умножаю на $9a$. Затем я $5$ умножаю на $-4b$, после чего $5$ умножаю на $c$. В результате упрощения получаю выражение $45a - 20b + 5c$. Задание выполнено.

Распределение множителей в примерах

В следующем примере я должна распределить множитель $8$ между слагаемыми, стоящими в скобках. Значит, $8$ я сначала умножаю на $x$. Затем $8$ я умножаю на $-7y$. И последнее, $8$ я умножаю на $-1,2n$. Результат: $8x - 56y + 9,6n$.

В следующем задании я должна распределить множитель $-1,3$ между тремя слагаемыми в скобках. Сначала я $-1,3$ умножу на $n$. Затем $-1,3$ умножим на $7n$. И затем $-1,3$ умножить на $-6k$. Несмотря на то, что множитель стоит за пределами скобки, мы именно этот множитель будем распределять между слагаемыми. В результате получаем $-1,3n - 9,1n + 7,8k$.

В следующем примере буду распределять множитель $-a$. Первое произведение: $-a$ умноженное на $-b$. Второе произведение: $-a$ умноженное на $-4,2b$. И последнее: $-a$, умноженная на $+3c$. В результате упрощения получаем выражение $ab + 4,2ab - 3ac$. Задание выполнено.

Завершение работы

Последнее задание. Распределение множителя $-0,8x$ между слагаемыми в скобках. Сначала я $-0,8x$ умножаю на $-7$. Затем $-0,8x$ я умножаю на $-3m$. После этого $-0,8x$ я умножаю на последний $1,2n$. Места осталось очень мало, ответ запишу наверху. В результате упрощения получаем $5,6x + 2,4mx + 0,96xn$ в алфавитном порядке. И напоследок $-9,6px$. Задание выполнено.

Если у вас остались какие-то вопросы по данной теме, вы можете мне их задать через электронную почту, которую я сейчас напишу на слайде.